Comutator (algebră)

Un comutator de operatori și în algebră , precum și în mecanica cuantică , este un operator . În general, nu este egal cu zero. Noțiunea de comutator se extinde și la algebre asociative arbitrare (nu neapărat algebre operator). În mecanica cuantică, numele bracket-ului cuantic Poisson s-a lipit și de comutatorul operatorilor . ${\hat {A}}$ ${\hat B}$ $[{\hat A},{\hat B}]={\hat A}{\hat B}-{\hat B}{\hat A}$

Dacă comutatorul a doi operatori este egal cu zero, atunci aceștia se numesc comutatori, în caz contrar, nu sunt comutatori.

Identități cu comutatorul

Anticomutativitatea : Această identitate implică faptul că pentru orice operator . $[A,B]=-[B,A].$ $[A,A]=0$ $A$

În algebra asociativă , următoarele identități sunt de asemenea adevărate:

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$ . Această identitate este regula Leibniz pentru un operator , din acest motiv, un operator este numit derivație intrinsecă în algebră. Operatorul are o proprietate similară $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$
Identitatea Jacobi : O algebră care satisface identitatea Jacobi se numește algebră Lie . Astfel, din orice algebră asociativă se poate obține o algebră Lie dacă se definește înmulțirea în noua algebră ca un comutator de elemente din vechea algebră. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$
$[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.$ Această identitate este o altă notație a identității Jacobi.
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D ]B$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A], B],C]=[[A,C],[B,D]]$
$e^{A}Fii^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{ 3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatorname {ad} (A)}B.$ Această formulă este valabilă în algebre în care poate fi definit un exponent de matrice, cum ar fi în algebra Banach sau în inelul seriei de puteri formale . De asemenea, joacă un rol crucial în mecanica cuantică și teoria câmpului cuantic în construirea teoriei perturbațiilor pentru operatori în reprezentarea Heisenberg și în reprezentarea interacțiunii .
$\ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!} }[(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left([A,[B,[B,A]]]]/2+[(A+ B ),[(A+B),[A,B]]]\dreapta)+\cdots .$

Comutatorul în mecanica cuantică

După cum se știe, măsurarea fizică în mecanica cuantică corespunde acțiunii operatorului unei mărimi fizice asupra vectorului de stare al sistemului. Așa-numitele stări pure , în care mărimea fizică are o valoare strict definită, corespund vectorilor proprii , în timp ce valoarea mărimii într-o stare dată este valoarea proprie a vectorului de stare pură: ${\hat F}$ $f$ ${\hat F}$

{\hat {F}}\psi _{i}=f\psi _{i}

Dacă două mărimi mecanice cuantice sunt măsurabile simultan, atunci în stări pure ambele vor avea o anumită valoare, adică seturile de vectori proprii ai operatorilor de mărimi coincid. Dar apoi vor face naveta:

{\hat {F}}{\hat {G}}\psi _{i}=g{\hat {F}}\psi _{i}=gf\psi _{i}={\hat {G}}{\hat {F}}\psi _{i}

În consecință, operatorii care nu fac navetă corespund unor mărimi fizice care nu au o valoare definită în același timp. Un exemplu tipic sunt operatorii de impuls ( componentele de impuls) și coordonatele corespunzătoare (vezi relația de incertitudine ). ${\hat p}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat x}=x$

Legile de conservare

Valorile proprii ale Hamiltonianului unui sistem cuantic sunt valorile energetice în stări staționare. O consecință evidentă a celor de mai sus este că o mărime fizică al cărei operator comută cu Hamiltonianul poate fi măsurată simultan cu energia sistemului. Cu toate acestea, în mecanica cuantică, energia capătă un rol special. Din ecuația Schrödinger

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t)}={\hat {H)}\psi

și definirea derivatei totale a operatorului în raport cu timpul

{\dot {{\hat f}}}={\hat {{\punct f}}}

se poate obține o expresie pentru derivata în timp totală a unei mărimi fizice și anume:

{\dot {\hat {f)}}={i \over \hbar }[{\hat {H}), {\hat {f)}]+{\frac {\partial {\hat { f))}{\partial t))

Prin urmare, dacă operatorul unei mărimi fizice comută cu Hamiltonianul, atunci această mărime nu se modifică în timp . Această relație este analogul cuantic al identității

{\dot {f)}={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

din mecanica clasică, unde {,} este paranteza de funcții Poisson. Similar cu cazul clasic, exprimă prezența anumitor simetrii în sistem, generând integrale de mișcare . Proprietatea conservării în anumite simetrii spațiale este cea care stă la baza definiției multor analogi cuantici ai mărimilor clasice, de exemplu, momentul este definit ca o mărime care este conservată în timpul tuturor translațiilor sistemului, iar momentul unghiular este definit ca o mărime care se conservă în timpul rotaţiilor.

Unele relații de comutație

Să indicăm valorile unor comutatoare frecvent întâlnite.

{\hat r}_{i},{\hat p}_{i},{\hat L}_{i}

este operatorul componentei i, respectiv, a vectorului rază, momentului și momentului unghiular ; - Delta Kronecker ; este un pseudotensor absolut antisimetric de rangul trei .

\delta _{{ij}}

e_{{ijk}}

[{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}

[{\hat {p)),f({\vec {r)}}]=-i\hbar \nabla f

[{\hat {L}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {L}}_{k}

[{\hat L}^{2},{\hat L}_{i}]=0

De regulă, relațiile pentru momentul normalizat sunt necesare: $\ {\hat L}_{j}=\hbar {\hat l}_{j}$

[{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {l}}_{k}

[{\hat l}^{2},{\hat l}_{i}]=0

Din aceste relații se poate observa că momentul unghiular al unei particule nu poate fi măsurat simultan cu coordonatele sau impulsul acesteia. Mai mult, cu excepția cazului în care momentul este egal cu zero, diferitele sale componente nu sunt măsurabile în același timp. Acest moment unghiular este fundamental diferit de momentul și vectorul rază, în care toate cele trei componente pot fi determinate simultan. Pentru momentul unghiular, puteți măsura doar proiecția acestuia pe o axă (de obicei ) și pătratul lungimii sale. $z$

Lie algebra mărimilor fizice

Comutatorul este analogul cuantic al bracket-ului Poisson în mecanica clasică . Operația comutatorului introduce structura unei algebre Lie pe operatori (sau elemente ale unei algebre) , astfel încât multiplicarea anticomutativă într-o algebră Lie este numită și comutator.

Cantități care nu fac navetă

Mărimile necomutabile se numesc mărimi al căror comutator . $A$ $B$ $[A,B]=AB-BA\neq 0$

Două mărimi fizice sunt măsurabile simultan dacă și numai dacă operatorii lor fac naveta [1] .

Anticomutator

Anticomutatorul este un operator de simetrie asupra elementelor inelului , care determină gradul de „anticomutativitate” al înmulțirii în inel:

[x,y]_{+}:=xy+yx

Prin anticomutator se introduce comutativa „ Multiplicarea Jordan ” . Algebra Clifford leagă întotdeauna în mod natural anticomutatorul cu forma biliniară care îl definește.

Exemple

Anticomutatorul unei perechi de unități imaginare diferite pentru cuaternioni este egal cu zero.
Folosind anticomutatorul, se determină matricele gamma Dirac .

Literatură

Blokhintsev D. I. Fundamentele mecanicii cuantice. - a 5-a ed. — M.: Nauka, 1976. — 664 p.
Boum A. Mecanica cuantică: fundamente și aplicații. — M.: Mir, 1990. — 720c.
Dirac P. Principiile mecanicii cuantice. - Ed. a II-a. — M.: Nauka, 1979. — 480 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). — Ediția a IV-a. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Vezi și

Note

↑ 3.7. Măsurarea simultană a diferitelor mărimi fizice . Consultat la 15 aprilie 2016. Arhivat din original pe 24 aprilie 2016. (nedefinit)