Metoda Lagrange (ecuații diferențiale)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 decembrie 2020; verificările necesită 6 modificări .

Metoda Lagrange (metoda de variație a constantelor arbitrare) este o metodă de obținere a unei soluții generale a unei ecuații neomogene , cunoscând soluția generală a unei ecuații omogene , fără a găsi o soluție anume .

Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea unei soluții la o ecuație diferențială liniară neomogenă

Să căutăm o soluție la ecuație

a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1 }(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=f(t),

presupunând că pentru ecuația omogenă corespunzătoare

a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1 }(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=0\qquad (1)

Cunoaștem soluția, pe care o scriem

z(t)=c_{1}z_{1}(t)+c_{2}z_{2}(t)+...+c_{n}z_{n}(t)

Metoda constă în înlocuirea constantelor arbitrare din soluția generală cu funcții auxiliare . $c_{k}$ $c_{k}(t)$

Derivatul pentru va fi scris ${\displaystyle z=c_{1}(t)z_{1}+c_{2}(t)z_{2}+...+c_{n}(t)z_{n))$

z'=c_{1}'z_{1}+\ldots +c_{n}'z_{n}\;+\;c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n} z_{n}'

Dar vom cere suplimentar (mai jos se arată că acest lucru nu va cauza probleme) că

c_{1}'z_{1}+c_{2}'z_{2}+\ldots +c_{n}'z_{n}=0

În acest fel, $z'=c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n}z_{n}'$

Introducând cerințe similare pentru cu diferențiere secvențială până la ordinul (n-1), obținem $c_{k}'$ $z(t)$

c_{1}'z^{(k-1)}+\ldots +c_{n}'z^{(k-1)}=0

\Sageata dreapta

z^{(k)}=c_{1}z_{1}^{(k)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(k))

Și, respectiv, pentru cea mai mare derivată

z^{(n)}=c_{1}'z_{1}^{(n-1)}+\ldots +c_{n}'z_{n}^{(n-1)}+ \;\ldots \;+c_{1}z_{n}^{(n)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(n)}

După înlocuirea în ecuația inițială și reducerea soluției omogene (1) din aceasta, rămâne

a_{n}(t)\left[c_{1}'(t)z_{1}^{(n-1)}(t)+\ldots +c_{n}'(t)z_{ n}^{(n-1)}(t)\right]=f(t)

Ca urmare, ajungem la

\left\{{\begin{matrix}z_{1}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}(t)c_{2}'(t)&+&.. .&+&z_{n}(t)c_{n}'(t)&=&0\\\vdots \\z_{1}^{(n-2)}(t)c_{1}'(t) &+&z_{2}^{(n-2)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-2)}(t)c_{ n}'(t)&=&0\\z_{1}^{(n-1)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-1)}(t )c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-1)}(t)c_{n}'(t)&=&f(t)/a_{n }(t)\end{matrice}}\dreapta.\qquad(2)

Determinantul sistemului (2) este Wronskianul funcțiilor , care asigură solubilitatea sa unică în raport cu . $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ ${c_{k}'}$

Dacă sunt antiderivate luate la valori fixe ale constantelor de integrare, atunci funcția $\widetilde {c_{k}}$ $c_{k}'$

z=z^{*}(t)=\widetilde {c_{1}}(t)z_{1}(t)+...+\widetilde {c_{n}}(t)z_{n}( t)

este o soluție la ecuația diferențială neomogenă liniară inițială. Integrarea unei ecuaţii neomogene în prezenţa unei soluţii generale a ecuaţiei omogene corespunzătoare este astfel redusă la pătraturi .

Exemple

1) O ecuație, în special, care apare în legea dezintegrarii radioactive

{\dot {x}}+\gamma x=f(t)

Soluția generală este integrată elementar:

x=c\cdot e^{-\gamma t)

Aplicam metoda Lagrange:

c'e^{-\gamma t}=f(t)

De unde este solutia dorita?

x=\int f(t)e^{\gamma t}\,dt\;\cdot e^{-\gamma t)

2) Ecuația oscilatorului armonic

{\ddot {x}}+\omega ^{2}x=f(t)

Scriem soluția ecuației omogene sub forma

x=a\sin \omega t+b\cos \omega t

Conform sistemului (2), obținem:

{\begin{cases}a'\sin \omega t+b'\cos \omega t=0,\\a'\cos \omega tb'\sin \omega t=f(t)/\omega ;\end{cazuri}}

a'={\frac {-{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}={\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)

b'={\frac {{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}=-{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)

Să restabilim soluția:

x(t)=\left(\int dt\,{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)\right)\sin \omega t-\left(\int dt \,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)\right)\cos \omega t

Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea de soluții la un sistem de ecuații diferențiale liniare în formă normală vectorială

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}=A(t){\bar {x}}+{\bar {f}}(t),t\în I\qquad (3)

constă în construirea unei soluţii generale (3) sub forma

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=Z(t){\bar {u}}(t),

unde este baza soluțiilor ecuației omogene corespunzătoare, scrisă ca matrice, iar funcția vectorială , care a înlocuit vectorul constantelor arbitrare, este definită de relația . Soluția particulară dorită (cu valori inițiale zero) pentru are forma $Z(t)$ ${\bar {u}}$ ${\bar {u'}}(t)=Z^{{-1}}(t){\bar {f}}(t)$ $t=t_{0}$

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t)Z^{-1 }(\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .

Pentru un sistem cu coeficienți constanți, ultima expresie este simplificată:

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t-\tau ){\ bar {f}}(\tau )d\tau .

Matricea se numește matricea Cauchy a operatorului . $Z(t)Z^{{-1}}(\tau )$ $L=A(t)$

Link -uri

exponenta.ru — Referință teoretică cu exemple