O varietate Haken este o varietate compactă P 2 -ireductibilă 3-varietate care este suficient de mare , ceea ce înseamnă că conține o suprafață incompresibilă cu două fețe imbricată corespunzător . Uneori sunt considerate numai varietăți Haken orientabile, caz în care varietățile Haken sunt 3-variete ireductibile orientabile compacte care conțin suprafețe incompresibile orientabile.
O varietate de 3 acoperite de un număr finit de varietăți Haken se numește o varietate Haken virtuală . Conjectura de virtualitate Haken afirmă că orice 3-varietate compactă ireductibilă cu un grup fundamental finit este o varietate Haken virtuală. Această ipoteză a fost dovedită de Ian Agol.
Varietățile Haken au fost propuse de Wolfgang Haken [1] . Haken [2] a demonstrat că varietățile Haken au o ierarhie în care pot fi împărțite în 3-bile de-a lungul suprafețelor incompresibile. Haken a mai arătat că există o procedură finită pentru găsirea unei suprafețe incompresibile dacă 3-varietatea are una. Jaco și Ortel [3] au prezentat un algoritm pentru a determina dacă o varietate 3 este o varietate Haken.
Suprafețele normale sunt omniprezente în teoria varietăților Haken, iar structura lor simplă și rigidă duce în mod natural la algoritmi.
Vom lua în considerare doar cazul varietăților Haken orientabile pentru a simplifica discuția. O vecinătate obișnuită a unei suprafețe orientabile într-o varietate 3 orientabilă este doar o versiune „îngroșată” a suprafeței, adică un snop I trivial . Astfel, o vecinătate obișnuită este o subvarietă tridimensională cu graniță care conține două copii ale suprafeței.
Având în vedere o varietate Haken orientabilă M , prin definiție conține o suprafață incompresibilă orientabilă S. Luați o vecinătate regulată a suprafeței S și îndepărtați interiorul acesteia din M , obținem varietatea M' . În esență, tăiem M de-a lungul suprafeței S . (Acest lucru este analog, în dimensiune cu una mai mică, cu tăierea unei suprafețe de-a lungul unui cerc sau a unui arc.) Există o teoremă conform căreia orice varietate compactă orientabilă care are o componentă cu graniță care nu este o sferă are un prim grup de omologie infinit, care implică faptul că are o suprafață incompresibilă inseparabilă cu două fețe imbricată corespunzător și, prin urmare, este și o varietate Haken. Astfel, putem alege o altă suprafață incompresibilă în M’ și putem tăia de-a lungul ei. Dacă, în cele din urmă, această secvență de tăieturi are ca rezultat o varietate ale cărei părți (componente) sunt pur și simplu 3-bile, numim această secvență ierarhie.
Ierarhia face posibilă demonstrarea unor tipuri de teoreme de varietate Haken prin inducție. Mai întâi, se demonstrează o teoremă pentru 3-bile. Apoi se demonstrează că dacă teorema este adevărată pentru părțile obținute prin tăierea varietății Haken, atunci este adevărată și pentru varietatea Haken în sine. Cheia aici este că tăierea este de-a lungul unei suprafețe foarte „bune”, adică incompresibilă. Acest lucru face dovada prin sunet de inducție în multe cazuri.
Haken a schițat o dovadă a unui algoritm pentru a verifica dacă două soiuri Haken sunt homeomorfe. Schița sa a dovezii a fost umplută cu eforturile independente ale lui Waldhausen, Johanson, Hemion, Matveev și alții. De atunci, a existat un algoritm pentru a verifica dacă o varietate 3 este o varietate Haken, iar problema principală de recunoaștere a 3-varietăților poate fi considerată rezolvată pentru varietăți Haken.
Waldhausen [4] a demonstrat că varietățile Haken închise sunt rigide din punct de vedere topologic — aproximativ vorbind, orice echivalență de homotopie a varietăților Haken este omotopie față de un homeomorfism (în cazul unei limite, este necesară o condiție pe o structură periferică). Astfel, 3-varietățile sunt complet determinate de grupul lor fundamental. În plus, Waldhausen a demonstrat că grupurile fundamentale de soiuri Haken au o problemă de cuvinte rezolvabilă. Același lucru este valabil și pentru varietățile Hakeniene virtuale.
Ierarhia joacă un rol crucial în teorema de hiperbolizare a lui William Thurston pentru varietățile Haken, care face parte din programul său revoluționar de geometrizare a 3-varietăților.
Johanson [5] a demonstrat că atoroidal non- ring boundary-ireductible Haken 3-varifolds au grupuri finite de mapping class . Acest rezultat poate fi obținut prin combinarea rigidității lui Mostov cu teorema de geometrizare a lui Thurston.
Rețineți că unele exemple de familii sunt conținute în altele.