Orientare

Orientare , în cazul clasic - alegerea unei clase de sisteme de coordonate care sunt „pozitiv” interconectate într-un anumit sens. Fiecare sistem specifică o orientare prin definirea clasei căreia îi aparține.

În matematica elementară, orientarea este adesea descrisă în termeni de „direcții în sensul acelor de ceasornic și în sens invers acelor de ceasornic”.

Orientarea este definită numai pentru anumite clase speciale de spații ( varietati , mănunchiuri vectoriale , complexe Poincare , etc.). Viziunea modernă a orientării este dată în cadrul teoriilor generalizate de coomologie .

Spațiu vectorial cu dimensiuni finite

În cazul unui spațiu vectorial de dimensiune finită peste câmpul numerelor reale, două sisteme de coordonate sunt considerate conectate pozitiv dacă determinantul matricei de tranziție de la unul dintre ele la celălalt este pozitiv.

Note

Pentru un domeniu general, determinarea orientării prezintă dificultăţi. De exemplu, într-un spațiu complex, o bază complexă determină o bază reală în același spațiu, considerată ca , și toate aceste baze sunt conectate în perechi prin tranziții pozitive (cu alte cuvinte, structura complexă definește o orientare în ). ${\mathbb C}^{n}$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ $e_{1},e_{2},...,e_{n},adică_{1},adică_{2},...,ie_{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Variații și generalizări

Spațiu afin

Pe o linie dreaptă, un plan și, în general, într-un spațiu afin real , sistemele de coordonate constau dintr-un punct (origine ) și un cadru , tranziția este determinată de vectorul de transfer al originii și înlocuirea cadrului. Această tranziție este pozitivă dacă determinantul matricei de înlocuire este pozitiv (de exemplu, dacă permutarea vectorilor cadru este egală). $A$ $O$ $\{e_{i}\}$

Două sisteme de coordonate definesc aceeași orientare dacă unul dintre ele poate fi convertit în celălalt continuu, adică există o familie de sisteme de coordonate dependente continuu de parametrul , , care leagă sistemele date , și , . $t\in[0,1]$ $O(t)$ $\{e_{i}(t)\}$ $O$ $\{e_{i}\}$ $O$ $\{e'_{i}\}$

Când sunt reflectate într-un hiperplan, sistemele din două clase trec unul în celălalt.

Orientarea poate fi specificată prin ordinea vârfurilor unui simplex -dimensional ( un triunghi în cazul bidimensional, un tetraedru în cazul tridimensional), Cadrul este determinat de condiția: începutul este plasat la primul vârf, vectorii cadrului sunt direcționați către restul de la primul. Două ordine definesc aceeași orientare dacă și numai dacă diferă printr-o permutare uniformă . Un simplex cu o ordine fixă de vârfuri până la o permutare pară se spune că este orientat. Fiecare -față a unui simplex orientat primește o orientare indusă: dacă primul vârf nu aparține unei fețe, atunci se presupune că ordinea celorlalte este pozitivă pentru acesta. $n$ $(n-1)$

Soiuri

Într-o varietate conectată , sistemul de coordonate este un atlas , un set de hărți care acoperă . Se spune că un atlas este orientator dacă transformările de coordonate sunt toate pozitive. Aceasta înseamnă că gradele lor sunt egale , iar în cazul unei varietăți diferențiabile , jacobienii transformării sunt pozitive în toate punctele. Dacă există un atlas de orientare, atunci se spune că varietatea este orientabilă . În acest caz, toate atlasele de orientare se încadrează în două clase, astfel încât trecerea de la hărțile unui atlas la hărțile altuia este pozitivă dacă și numai dacă atlasele aparțin aceleiași clase. Alegerea unei astfel de clase se numește orientarea varietatii. Această alegere poate fi făcută prin specificarea unei singure hărți sau a orientării locale la un punct. În cazul unei varietăți diferențiabile, orientarea locală poate fi specificată prin specificarea unui cadru în planul tangent într-un punct. Dacă are o muchie și este orientată, atunci muchia este și ea orientabilă, de exemplu, după regula: în punctul de margine se ia un cadru care orientează , al cărui vector este îndreptat din , iar vectorii rămași se află în planul tangent al muchiei, acestea din urmă sunt luate ca cadrul de orientare al muchiei. $M$ $M$ $+1$ $M$ $M$ $M$ $M$

Contur dezorientator

Un contur dezorientator este o curbă închisă într-o varietate care are proprietatea că atunci când este parcurs, orientarea locală își schimbă semnul.

Un contur dezorientator există numai într-o varietate neorientabilă , iar un homomorfism al grupului fundamental pe cu un nucleu constând din clase de bucle nedezorientabile este definit în mod unic . $M$ $\pi _{1}(M)$ $\mathbb Z_2$

De-a lungul oricărei cărți, puteți alege un lanț de cărți astfel încât două cărți adiacente să fie conectate pozitiv. Astfel, orientarea în punct determină orientarea în punctul , iar această relație depinde de traseu doar până la deformarea sa continuă la capete fixe. Dacă este o buclă, adică , atunci se numește contur dezorientator dacă aceste orientări sunt opuse. Există un homomorfism al grupului fundamental în grupul de ordine : buclele dezorientare merg la , iar restul la . Acest homomorfism este folosit pentru a construi o acoperire cu două foi în cazul unei varietăți neorientabile. Se numește orientare (pentru că spațiul de acoperire va fi orientabil). Același homomorfism se definește asupra unui pachet unidimensional , care este trivial dacă și numai dacă este orientabil. Pentru un diferențiabil , acesta poate fi definit ca un pachet de forme de ordine diferențială . O secțiune diferită de zero în ea există numai în cazul orientabil și stabilește forma volumului și, în același timp, orientarea. $q:[0,1]\la M$ $q(0)$ $q(1)$ $q$ $q$ $q(0)=q(1)=x_{0}$ $q$ $\pi _{1}(M,x_{0})$ $2$ $-unu$ $+1$ $M$ $M$ $M$ $\Omega ^{n}(M)$ $n=\operatorname {dim}M$ $M$

În limbajul omologiei

Orientarea poate fi definită în limbajul omologic : pentru o varietate orientabilă conectată fără graniță, grupul de omologie (cu suporturi închise) este izomorf , iar alegerea unuia dintre cele două generatoare stabilește orientarea - sunt selectate hărțile cu grade pozitive de mapări. Pentru o varietate conectată cu graniță, același lucru este valabil și pentru . În primul caz, orientabilitatea este un invariant de homotopie a lui M, iar în al doilea caz, perechi . Deci, banda Möbius și inelul au același tip de homotopie absolută, dar diferite - în ceea ce privește marginea. $H^{n}(M,\mathbb{Z } )$ $\mathbb {Z}$ $H^{n}(M,\partial M,\mathbb{Z } )$ $(M,\M parțial)$

O orientare locală a unei varietăți poate fi dată și prin alegerea unui generator dintr-un grup care este izomorf.Interpretarea omologică a orientării ne permite să transferăm acest concept la varietăți omologice generalizate. $H^{n}(M,M\backslash x_{0},\mathbb{Z } )$ $\mathbb {Z}$

Pseudovariete

O varietate triangulată (sau pseudovarietate ) este orientabilă dacă este posibil să se orienteze toate simplexele -dimensionale astfel încât două simplexe cu o față -dimensională comună să inducă orientări opuse asupra acesteia. Un lanț închis de simplexe -dimensionale, în care fiecare doi vecini au o față comună , se numește dezorientare dacă aceste simplexe pot fi orientate în așa fel încât primul și ultimul simplex să inducă orientări coincidente pe fața comună, iar celelalte vecine. induce orientări opuse. $M$ $n$ $(n-1)$ $n$ $(n-1)$

Pachete

Lăsați un pachet cu o fibră standard să fie dat peste spațiu . Dacă orientarea tuturor fibrelor poate fi aleasă în așa fel încât orice mapare (corectă) definită printr-o cale unică până la homotopia corespunzătoare să păstreze orientarea, atunci fasciculul se numește orientat, iar alegerea indicată a orientării straturilor se numește orientarea fasciculului. De exemplu, banda Möbius , considerată ca un mănunchi vectorial peste un cerc, nu are nicio orientare, în timp ce suprafața laterală a unui cilindru are. $B$ $p:E\la B$ $F$ $B$

Spații infinit-dimensionale

Conceptul de orientare admite o generalizare naturală pentru cazul unei varietăți infinit-dimensionale modelate folosind un Banach infinit-dimensional sau spațiu vectorial topologic . În același timp, sunt necesare restricții asupra operatorilor liniari care sunt diferențiale ale funcțiilor de tranziție de la hartă la hartă: ei nu trebuie să aparțină doar grupului liniar general al tuturor izomorfismelor spațiului de modelare, care este omotopie trivială (în topologia uniformă). ) pentru majoritatea spațiilor vectoriale clasice , dar trebuie să fie conținute într-un subgrup deconectat liniar al grupului liniar general. Apoi componenta conectată a acestui subgrup va seta „semnul” orientării. Ca astfel de subgrup, se alege de obicei grupul Fredholm , constând din acele izomorfisme ale spațiului de modelare pentru care diferența cu izomorfismul identic este un operator complet continuu .