Polinoame Legendre

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Polinoame Legendre
informatii generale
Formulă	$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1 )^{n}$
Produs scalar	$(f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx)$
Domeniu	$[-1,\;1]$
caracteristici suplimentare
Ecuație diferențială	$(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0$
Normă	$\\|P_{n}(x)\\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1))}$
Numit după	Legendre, Adrien Marie

Polinomul Legendre este polinomul care se abate cel mai puțin de la zero în sensul pătratului mediu . Formează un sistem ortogonal de polinoame pe un segment din spațiu . Polinoamele Legendre pot fi obținute din polinoame prin ortogonalizare Gram–Schmidt . $[-1,\;1]$ $L^{2}$ $\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}$

Numit după matematicianul francez Adrien Marie Legendre .

Definiție

Polinoame Legendre și funcții Legendre asociate de primul și al doilea fel

Luați în considerare o ecuație diferențială de formă

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0,

(unu)

unde este o variabilă complexă . Soluțiile acestei ecuații pentru numere întregi au forma de polinoame , numite polinoame Legendre . Polinomul Legendre de grad poate fi reprezentat prin formula Rodrigues sub forma [1] $z$ $n$ $n$

P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}.

Adesea, scrieți unghiul polar cosinus : $z$

P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{ n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.

Ecuaţia ( 1 ) poate fi obţinută dintr - un caz special al ecuaţiei hipergeometrice , numit ecuaţia Legendre

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,

(2)

unde , sunt constante complexe arbitrare. De interes sunt soluțiile sale, care sunt cu o singură valoare și regulate pentru (în special, pentru real ) sau când partea reală a numărului este mai mare decât unu. Soluțiile sale sunt numite funcții Legendre asociate sau funcții sferice (armonici) . Înlocuirea formei din ( 2 ) dă ecuația lui Gauss , a cărei soluție în regiune ia forma $\mu$ $\nu$ $|z|<1$ $z$ $z$ $w=(z^{2}-1)^{{\mu /2}}$ $|1-z|<2$

w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )))\left({\frac {z+1}{z- 1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\ frac {z}{2}}\dreapta),

unde este funcția hipergeometrică . Înlocuirea în ( 2 ) duce la o soluție de formă $F$ $w=z^{2}$

w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\ Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)))z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu / 2}F\left({\frac {\nu }{2))+{\frac {\mu }{2))+1,\;{\frac {\nu }{2))+{\frac { \mu }{2))+{\frac {1}{2));\;\nu +{\frac {3}{2));\;z^{-2}\right),

definit pe . Funcțiile și sunt numite funcții Legendre de primul și al doilea fel . [2] $|z|>1$ $P_{\nu }^{\mu }(z)$ $Q_{\nu }^{\mu }(z)$

Următoarele relații sunt valabile [3]

P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{{-\nu -1}}^{\mu }(z)

și

Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{{-\nu -1}}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{{i\mu \pi }}\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).

Exprimarea în termeni de sume

Polinoamele Legendre sunt, de asemenea, definite prin următoarea formulă:

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k} {\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.

Formula recurentă

Ele pot fi calculate și prin formula recursivă (pentru ) [4] : $n\geqslant 1$

P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n -1}(x),

(3)

iar primele două funcţii au forma

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x.

Derivata polinomului Legendre

Calculat prin formula [5]

P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].

(patru)

Rădăcinile polinomului Legendre

Calculat iterativ prin metoda lui Newton [5] :

x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P '_{n}(x_{i}^{(k)})}},

iar aproximarea inițială pentru rădăcina --a ( ) este luată conform formulei [5] $i$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2)).

Valoarea unui polinom poate fi calculată folosind o formulă recursivă pentru o anumită valoare x . Derivata poate fi de asemenea calculată pentru o anumită valoare a lui x folosind formula derivată .

Formule cu expansiuni

Polinoamele Legendre sunt, de asemenea, definite de următoarele expansiuni:

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2)}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t ^{n}

pentru

|t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2)}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){ \frac {1}{t^{n+1}}}

pentru

|t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.

Prin urmare,

P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n (n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4( 2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots\right].

Polinoame Legendre asociate

Polinoamele Legendre asociate sunt definite prin formula

P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{ n}(x),

care poate fi reprezentat şi ca

P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}} P_{n}(\cos \theta).

Pentru , funcția este aceeași cu . $m=0$ $P_{n}^{m}$ $P_{n}$

Normalizare după regula lui Schmidt

Polinoamele Legendre normalizate după regula Schmidt arată astfel [6] :

SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),

SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(nm)!}{(n+m)!}}\right)^{ 1/2}P_{n}^{m}(x).

Polinoame Legendre deplasate

Polinoamele Legendre deplasate sunt definite ca , unde funcția de deplasare (aceasta este o transformare afină ) este aleasă pentru a mapa în mod unic intervalul de ortogonalitate al polinoamelor pe intervalul în care polinoamele deplasate sunt deja ortogonale : ${\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)$ $x\mapsto 2x-1$ $[-1,\;1]$ $[0,\;1]$ ${\tilde {P_{n))}(x)$

\int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m)}}(x) {\tilde {P_{n)}}(x)\,dx={\frac {1 }{2n+1}}\delta _{mn}.

Expresia explicită pentru polinoamele Legendre deplasate este dată ca

{\tilde {P_{n)}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k)}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.

Un analog al formulei Rodrigues pentru polinoamele Legendre deplasate este

{\tilde {P_{n)}}(x)={\frac {1}{n!)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[ ( x^{2}-x)^{n}\dreapta].

Expresii pentru unele polinoame Legendre prima deplasate:

n	${\tilde {P_{n))}(x)$
0	$unu$
unu	$2x-1$
2	$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$
patru	$70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1$

Matricea funcției polinomiale Legendre

{\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &0&\vdots &\vdots &\vdots &\&vdots \vdots &\vdots \\0&0&0&0&20&\vdots &0&\vdots &\vdots \\\puncte &\puncte &\puncte &\puncte &\puncte &\ddots &\vdots &\puncte &\vdots \\0&0&0&0&0&\puncte &k (k+1)&\puncte &\vpuncte \\\puncte &\puncte &\puncte &\puncte &\puncte &\puncte &\puncte &\ddots &\vpuncte \\0&0&0&0&0&\puncte &0&\puncte &n(n +1)\\\end{pmatrix}}

Această matrice este triunghiulară superioară . Determinantul său este egal cu zero, iar valorile proprii sunt , unde . $k(k+1)$ $k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n\)$

Exemple

Primele polinoame Legendre în formă explicită:

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x,

P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),

P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),

P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),

P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),

P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),

P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),

P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35 ),

P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x ^{3}+315x),

P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30 \,030x^{4}+3465x^{2}-63),

P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90 \,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),

P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x ^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),

P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849 \,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),

P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309 \,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}- 429),

P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702 \,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{ 3}-6435x),

P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-1487285800x^{10}+86^{2}+866^{2}+866 }-162954792x^{6}+19399380x^{4}-875160x^{2}+6435),

P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4 \,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\, 888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).

De atunci, de atunci $P_{n}(1)=1$

P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n} x^{n)){\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n))}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n }\lambda _{i}x^{i}}{\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.

Proprietăți

Dacă , atunci $n \neq 0$ $\forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.$
Căci gradul este . $n \neq 0$ $P_{n}$ $n$
Suma coeficienților polinomului Legendre este 1. $P_n(x)$
Ecuația are rădăcini exact diferite pe segment $P_{n}(x)=0$ $n$ $[-1,\;1].$
Lasă . Apoi $\forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n)$ $U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,$ $(x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.$
Polinoamele Legendre asociate sunt soluții ale ecuației diferențiale ${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac { m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

La , ecuația ia forma

m=0

P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).

Funcția generatoare pentru polinoamele Legendre este $\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2)}} }.$
Condiția de ortogonalitate pentru aceste polinoame de pe segment : $[-1,\;1]$ $\int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta _{ kl},$

unde este simbolul Kronecker .

\delta _{{kl}}

Căci norma este $n\în \mathbb {N}$ $P_{n}$ $\|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx))={\sqrt { \frac {2}{2n+1}}}.$
Funcția polinomială Legendre normalizată este legată de normă prin următoarea relație: $P_{n}$ ${\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n +1}{2}}}P_{n}(x).$
Pentru fiecare , sistemul de funcții Legendre asociate este complet în . $m>0$ $P_{n}^{m}(x),\n=m,\;m+1,\;\ldots$ $L_{2}(-1,\;1)$
În funcție de și , polinoamele Legendre asociate pot fi funcții pare sau impare: $m$ $n$ $P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{{m+n}}P_{n}^{m}(x).$ $P_{2n)$ este o funcție uniformă, $P_{2n+1}$ este o funcție ciudată.
$P_{n}(1)=1.$
$P_{n}(-1)=(-1)^{n}.$
$P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n)}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n }{k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}$ , din moment ce , și . $\forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0$ $0^{2n-2n}=1$
Căci se realizează . $n \neq 0$ $P_{2n}(0)\leqslant {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}$
$\forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt { \frac {2}{\pi n(1-x^{2})}}}.$

Seria de polinoame Legendre

Extinderea unei funcții Lipschitz într-o serie de polinoame Legendre

Funcția Lipschitz este o funcție cu proprietatea $f$

|f(x)-f(y)|\leqslant L|xy|

, unde .

L>0

Această funcție se extinde într-o serie de polinoame Legendre.

Fie spațiul mapărilor continue pe segmentul , și . $\varepsilon (I)$ $I=[-1,\;1]$ $f\in \varepsilon (I)$ $n\în \mathbb {N}$

Lăsa

c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,

atunci îndeplinește următoarea condiție: $c_{n}(f)$

\lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.

Lăsați și îndepliniți următoarele condiții: $S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}$ $S_{n}f$

$\forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\, dy$ , Unde $K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{ n+1}(y)P_{n}(x)}{xy}};$
$S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y) -f(x){\big )}\,dy;$
$\forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).$

Funcția Lipschitz poate fi scrisă după cum urmează: $f$

f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.

Descompunerea unei funcții holomorfe

Orice funcție holomorfă în interiorul unei elipse cu focare −1 și +1 poate fi reprezentată ca o serie: $f$

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).

Teorema adunării

Pentru mărimile care îndeplinesc condițiile , , , este un număr real , putem scrie teorema de adunare pentru polinoamele Legendre de primul fel: [7] $0\leqslant \psi _{1}<\pi$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,

sau, alternativ, prin funcția gamma :

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k -m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _ {2})\cos m\varphi .

Pentru polinoamele Legendre de al doilea fel, teorema de adunare arată ca [8]

Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi

în condiţii , , , . $0\leqslant \psi _{1}<\pi /2$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

Funcții Legendre

Polinoamele Legendre (împreună cu funcțiile Legendre asociate ) apar în mod natural în teoria potențialului . $P_{{n,\;m}}(x)$

Funcțiile sferice sunt funcții (în coordonate sferice ) de forma (până la o constantă) $r,\;\theta ,\;\varphi$

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi

și

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta)\sin m\varphi,

unde sunt polinoamele Legendre asociate. Ele pot fi reprezentate și ca , unde sunt funcții sferice . $P_{n}^{m}$ $r^{n}Y_{nm)$ $Y_{nm)$

Funcțiile sferice satisfac ecuația Laplace peste tot în . $\mathbb {R} ^{3}$

Note

↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , p. 1039.
↑ Bateman, Erdeyi, Vol. 1, 1973 , p. 126-127.
↑ Bateman, Erdeyi, Vol. 1, 1973 , p. 140.
↑ Zimring, 1988 , p. 196.
↑ 1 2 3 Zimring, 1988 , p. 197.
↑ John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave . - Ediția 4 pentru Octave versiunea 4.4.1. - 2018. - S. 530-531.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , p. 1027.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , p. 1028.

Literatură

Bateman G., Erdeyi A. Higher Transcendental Functions = Higher Transcendental Functions / Per. N. Ya. Vilenkina. - Ed. al 2-lea,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 p. - 14.000 de exemplare.
Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Gradshtein I. S., Ryzhik I. M . Tabele de integrale, sume, serii și produse. - Ed. a 4-a, revizuită. - M . : Editura de stat de literatură fizică şi matematică, 1963. - 19.000 de exemplare.
Campe de Ferrier J., Campbell R., Petio G., Vogel T. Functions of Mathematical Physics. — M .: Fizmatlit, 1963.
Nikolsky S. M. Formule de cuadratura. — M .: Nauka, 1988.
Zimring Sh. E. Funcții speciale și integrale definite. Algoritmi. Programe pentru calculatoare: un manual. - M . : Radio și comunicare, 1988.

Link -uri

Legendre Polynomials - Universitatea din Rochester, 2010.

Polinoame ortogonale
polinoame Bessel Polinoame Gegenbauer polinoame Kravchuk polinoame Laguerre Polinoame Legendre Polinoame Polachek polinoame Rogers polinoame Zernike Polinoamele Cebyshev polinoame Charlier Polinoame Hermite polinoame Jacobi