Cel mai mare poligon cu diametru unitar este un poligon cu n laturi (pentru un număr dat n ), al cărui diametru este egal cu unul (adică oricare două dintre punctele sale sunt la o distanță care nu depășește unul față de celălalt) și care are cea mai mare zonă printre alte n - gonuri cu diametrul unu . Soluția (nu unică) pentru n = 4 este un pătrat , soluția pentru n impar este un poligon regulat , în timp ce pentru restul n par , poligonul regulat nu va fi cel mai mare.
Aria unui patrulater arbitrar ( n = 4) este calculată prin formula S = pq sin( θ )/2, unde p și q sunt diagonalele patrulaterului, iar θ este unghiul dintre diagonale. Dacă diametrul poligonului este de cel mult unu, atât p , cât și q trebuie să fie de cel mult 1. Astfel, un patrulater are o suprafață maximă atunci când toți cei trei factori ating valoarea maximă posibilă, adică p = q = 1 și sin( θ ) = 1. Condiția p = q înseamnă că patrulaterul este echidiagonal , iar condiția sin( θ ) = 1 înseamnă că este ortodiagonal (diagonalele sale sunt perpendiculare). Printre aceste patrulatere se află un pătrat cu diagonale de lungime unitară și aria ½, dar există infinite alte patrulatere simultan echidiagonale și ortodiagonale cu lungimea diagonală 1, toate având aceeași zonă ca pătratul. Astfel, soluția nu este unică [1] .
Pentru valorile impare ale lui n , Karl Reinhardt a arătat că un poligon obișnuit are cea mai mare suprafață dintre toate poligoanele de diametru unitar [2] .
În cazul lui n = 6, poligonul optim este unic, dar nu este regulat. Soluția pentru acest caz a fost publicată în 1975 de Ronald Graham ca răspuns la o întrebare pusă în 1956 de Hanfried Lenz [3] . Soluția este un pentagon echidiagonal neregulat cu un triunghi atașat de una dintre laturile sale, iar distanța de la vârful acestui triunghi la vârful opus al pentagonului este egală cu lungimea diagonalelor pentagonului [4] . Aria acestei cifre este 0,674981… [5] , iar acest număr satisface ecuația:
4096x10 + 8192x9 - 3008x8 - 30848x7 + 21056x6 + 146496x5 - 221360x4 + 1232x3 + 144464x2 - 78488x + 11993 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Graham a presupus că, în cazul general, pentru n , soluția este construită într-un mod similar din ( n − 1)-goni regulate (cu diagonale unitare) cu adăugarea unui triunghi isoscel la una dintre laturi, distanța de la vârful căruia vârfului opus este ( n − 1) -gon este egal cu unu. Pentru cazul n = 8, acest lucru a fost verificat în 2002 folosind un calculator [6] . Dovada lui Graham a optimității hexagonului său și testul computerului pentru cazul n = 8 au folosit o enumerare a tuturor pistelor posibile cu n vârfuri și muchii drepte.
O dovadă completă a conjecturii lui Graham pentru toate valorile pare ale lui n a fost dată în 2007 [7] .