Clădire cu busolă și dreptar

Clădire cu busolă și dreptar

Fișiere media la Wikimedia Commons

Construcțiile cu ajutorul unei busole și a unei rigle este o secțiune a geometriei euclidiene , cunoscută încă din cele mai vechi timpuri .

În problemele de construcție, busolele și o riglă sunt considerate instrumente ideale, în special:

Rigla nu are diviziuni și are o latură de lungime infinită, ci doar una.
Busola poate avea orice deschidere (mare sau mică) (poate desena un cerc de rază arbitrară) și păstrează ultima deschidere, adică poate desena cercuri identice oriunde.

Exemple

Problema bisectiei . Folosind o busolă și o linie dreaptă, împărțiți segmentul AB dat în două părți egale. Una dintre soluții este prezentată în figură:

Cu o busolă desenăm cercuri centrate în punctele A și B cu raza AB .
Găsim punctele de intersecție P și Q ale celor două cercuri (arce) construite.
Desenați un segment sau o dreaptă de-a lungul riglei care trece prin punctele P și Q.
Găsim punctul de mijloc dorit al segmentului AB - punctul de intersecție dintre AB și PQ .

Definiție formală

În sarcinile de construcție, se ia în considerare un set de următoarele obiecte: toate punctele planului, toate liniile planului și toate cercurile planului. În condițiile problemei, se specifică inițial un anumit set de obiecte (considerate construite). Este permis să adăugați (construiți) la setul de obiecte construite:

punct arbitrar;
un punct arbitrar pe o dreaptă dată;
un punct arbitrar pe un cerc dat;
punctul de intersecție a două drepte date;
punctele de intersecție/tangență ale unei drepte date și ale unui cerc dat;
puncte de intersecție/tangență a două cercuri date;
o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct dat;
o linie dreaptă care trece prin două puncte date;
un cerc arbitrar centrat într-un punct dat;
un cerc arbitrar cu o rază egală cu distanța dintre două puncte date;
un cerc centrat într-un punct dat și cu o rază egală cu distanța dintre două puncte date.

Se cere, cu ajutorul unui număr finit al acestor operații, să se construiască un alt set de obiecte care se află într-o relație dată cu mulțimea inițială.

Soluția problemei de construcție conține trei părți esențiale:

Descrierea metodei de construire a unei multimi date.
O dovadă că mulțimea construită în modul descris este într-adevăr într-o relație dată cu mulțimea inițială. De obicei, demonstrarea construcției se face ca o demonstrație obișnuită a unei teoreme, bazându-se pe axiome și alte teoreme demonstrate.
Analiza metodei de construcție descrise pentru aplicabilitatea acesteia la diferite variante de condiții inițiale, precum și pentru unicitatea sau neunichitatea soluției obținute prin metoda descrisă.

Provocări cunoscute

Problema lui Apollonius de a construi un cerc tangent la trei cercuri date. Dacă niciunul dintre cercurile date nu se află în interiorul celuilalt, atunci această problemă are 8 soluții în esență diferite.
Problema lui Brahmagupta de a construi un patrulater înscris pe cele patru laturi ale sale.

Construirea poligoanelor regulate

Geometrii antici știau cum să construiască n - gonuri regulate pentru , și . $n=2^k$ $n=3\cdot 2^{k}$ $n=5\cdot 2^{k}$ $n=3\cdot 5\cdot 2^{k}$

În 1796, Gauss a arătat posibilitatea de a construi n - gonuri regulate pentru , unde sunt diferite numere prime Fermat . În 1836, Wanzel a demonstrat că nu existau alte poligoane regulate care să poată fi construite cu o busolă și o linie dreaptă. $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m}$ $p_{i}$

Probleme de nerezolvat

Următoarele trei sarcini de construcție au fost stabilite de grecii antici:

trisecție unghiulară - împarte un unghi arbitrar în trei părți egale;
dublarea unui cub - construiește o margine a unui cub de două ori mai mare ca volum decât cubul dat;
punerea la pătrat a unui cerc înseamnă a construi un pătrat care este egal ca suprafață cu cercul dat.

Abia în secolul al XIX-lea s-a dovedit riguros că toate aceste trei probleme nu puteau fi rezolvate folosind doar o busolă și o linie dreaptă. Dovada insolubilității acestor probleme de construcție a fost realizată folosind metode algebrice bazate pe teoria Galois [1] . În special, imposibilitatea construirii unei pătrate a unui cerc rezultă din transcendența numărului π .

O altă problemă binecunoscută și de nerezolvat cu ajutorul unui compas și al unei rigle este construcția unui triunghi după trei lungimi date de bisectoare [2] . Această problemă rămâne de nerezolvat chiar și în prezența unui instrument care efectuează trisecția unghiulară , cum ar fi un tomahawk . [3]

Segmente permise pentru construcție folosind o busolă și o linie dreaptă

Folosind aceste instrumente, este posibil să construiți un segment, care în lungime:

egal cu suma lungimilor mai multor segmente;
egal cu diferența dintre lungimile a două segmente;
egal numeric cu produsul lungimilor a două segmente;
egal numeric cu câtul împărțirii lungimilor a două segmente;
egal numeric cu rădăcina pătrată a lungimii unui segment dat (reduce din posibilitatea construirii mediei geometrice a două segmente, vezi ilustrația). [patru]

Pentru a construi un segment cu o lungime egală numeric cu produsul, rădăcina privată și pătrată a lungimii segmentelor date, este necesar să setați un segment unitar pe planul de construcție (adică un segment de lungime 1), în caz contrar, problema este de nerezolvat din cauza lipsei de scară. Extragerea rădăcinilor din segmente cu alte puteri naturale care nu sunt o putere de 2 nu este posibilă folosind o busolă și o linie dreaptă. Deci, de exemplu, este imposibil să construiți un segment de lungime dintr-un singur segment folosind o busolă și o riglă . Acest fapt, în special, implică imposibilitatea de rezolvare a problemei de dublare a cubului. [5] ${\sqrt[ {3}]{2}}$

Construcții posibile și imposibile

Din punct de vedere formal, soluția oricărei probleme de construcție se reduce la o soluție grafică a unei ecuații algebrice , iar coeficienții acestei ecuații sunt raportați la lungimile segmentelor date. Prin urmare, putem spune că problema construcției se reduce la găsirea rădăcinilor reale ale unei ecuații algebrice.

Prin urmare, este convenabil să vorbim despre construcția unui număr - o soluție grafică a unei ecuații de un anumit tip.

Pe baza posibilelor construcții de segmente, sunt posibile următoarele construcții:

Construcția soluțiilor ecuațiilor liniare .
Construcția de soluții la ecuații Reducerea la soluții de ecuații patratice .

Cu alte cuvinte, este posibil să se construiască numai segmente egale cu expresii aritmetice folosind rădăcina pătrată a numerelor originale (dată lungimile segmentelor).

Soluția trebuie exprimată folosind rădăcini pătrate , nu radicali de grad arbitrar. Chiar dacă o ecuație algebrică are o soluție în radicali , atunci aceasta nu implică posibilitatea de a construi un segment egal cu soluția sa cu un compas și o riglă. Cea mai simplă astfel de ecuație: legată de celebra problemă de dublare a cubului, redusă la această ecuație cubică . După cum am menționat mai sus, soluția acestei ecuații ( ) nu poate fi construită cu o busolă și o riglă. $x^{3}-2=0,$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$

Capacitatea de a construi un 17-gon regulat rezultă din expresia pentru cosinusul unghiului central al laturii sale:

\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}=-{\frac {1}{16}}\;+\;{\frac {1}{16 }}{\sqrt {17}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\;+\;

+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}},

care, la rândul său, decurge din posibilitatea reducerii unei ecuații de forma unde este orice număr prim Fermat , folosind o schimbare de variabilă la o ecuație pătratică.

x^{F_{n}}-1=0,

F_{n}

Variații și generalizări

Construcții cu o singură busolă. Conform teoremei Mohr-Mascheroni, cu ajutorul unei busole, puteți construi orice figură care poate fi construită cu un compas și o riglă. În acest caz, o linie este considerată a fi construită dacă pe ea sunt date două puncte.
Construcții cu o singură riglă. Este evident că numai construcții proiectiv invariante pot fi realizate cu ajutorul unei rigle. În special,
- este imposibil chiar să împărțiți segmentul în două părți egale,
- de asemenea, este imposibil de găsit centrul cercului dat.

In orice caz,

în prezența unui cerc desenat anterior pe planul cu un centru marcat și o riglă, se pot realiza aceleași construcții ca și cu un compas și o riglă ( teorema Steiner-Poncelet ).
Dacă există două serife pe riglă, atunci construcțiile cu ajutorul acesteia sunt echivalente cu construcțiile cu ajutorul unei busole și a unei rigle ( Napoleon a făcut un pas important în demonstrarea acestui lucru ).

Construcții cu unelte limitate. În probleme de acest gen, instrumentele (spre deosebire de formularea clasică a problemei) sunt considerate nu ideale, ci limitate: o linie dreaptă prin două puncte poate fi trasă folosind o riglă numai dacă distanța dintre aceste puncte nu depășește un anumit punct. valoare; raza cercurilor desenate cu o busolă poate fi limitată de sus, de dedesubt sau atât deasupra cât și dedesubt.
Construcții folosind origami plat , vezi regulile Fujita
Construcțiile cu ajutorul mecanismelor articulate sunt construcții în plan și în spațiu folosind tije simple legate la capete prin balamale. În acest fel, puteți construi orice număr algebric [6] .

Fapte interesante

Modelul central de pe steagul național al Iranului este descris legal ca o construcție care folosește o busolă și o riglă [7] .

Vezi și

Pachetele software de geometrie dinamică vă permit să efectuați construcții virtuale folosind o busolă și o riglă pe un monitor de computer.

Note

↑ Kirichenko, 2005 , p. unu.
↑ Cine și când a dovedit imposibilitatea construirii unui triunghi din trei bisectoare? Arhivat pe 18 octombrie 2009 la Wayback Machine . Punct de consultare la distanță pentru matematică MCNMO .
↑ Este posibil să construiți un triunghi cu trei bisectoare, dacă, pe lângă o busolă și o linie dreaptă, este permisă utilizarea unei copii trisectoriale de arhivă din 26 august 2015 la Wayback Machine . Punct de consultare la distanță pentru matematică MCNMO .
↑ Kirichenko, 2005 , p. patru.
↑ Kirichenko, 2005 , p. 9.
↑ Maehara, Hiroshi (1991), Distances in a rigid unit-distance graph in the plane , Discrete Applied Mathematics vol. 31 (2): 193–200 , DOI 10.1016/0166-218X(91)90070-D .
↑ Standard Flag Iranian Arhivat 21 iunie 2012 la Wayback Machine (pers.)

Literatură

Adler A. Teoria construcțiilor geometrice / Traducere din germană de G. M. Fikhtengolts. - A treia editie. - L . : Uchpedgiz, 1940. - 232 p.
Alexandrov I. I. Culegere de probleme geometrice pentru constructii . — Ediția a optsprezecea. - M . : Uchpedgiz, 1950. - 176 p.
Argunov B. I., Balk M. B. Construcții geometrice pe plan. Manual pentru studenții institutelor pedagogice . - A doua editie. - M . : Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
Voronets A. M. Geometria unui compas . - M. - L. : ONTI, 1934. - 40 p. — (Biblioteca populară în matematică, editată de L. A. Lyusternik).
Geiler V. A. Probleme de construcție de nerezolvat // SOZH . - 1999. - Nr. 12 . - S. 115-118 .
Kirichenko V. A. Construcții cu busole și riglă și teoria Galois // Școala de vară „Matematică modernă”. - Dubna, 2005.
Manin Yu. I. Cartea IV. Geometrie // Enciclopedia matematicii elementare . - M. : Fizmatgiz, 1963. - 568 p.
Petersen Yu. Metode și teorii pentru rezolvarea problemelor de construcție geometrică . - M . : Tipografia lui E. Lissner și Yu. Roman, 1892. - 114 p.
Prasolov VV Trei probleme clasice de construcție. Dublarea unui cub, trisecția unui unghi, pătrarea unui cerc . — M .: Nauka, 1992. — 80 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ).
Construcții geometrice // Manual de matematică (pentru gimnaziu) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - ed. a III-a. — M.: Nauka, Ch. ediţia Phys.-Math. Literatură, 1983. - S. 200-213. — 480 s.
Steiner J. Construcții geometrice realizate folosind o dreaptă și un cerc fix . - M . : Uchpedgiz, 1939. - 80 p.
Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 80. - 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .

Link -uri

Construcții de poligoane regulate de Dr. Matematică la The Math Forum
Construcție cu busola Numai la tăierea nodului
Trisecția unghiului de către Hipocrate la tăierea nodului
Weisstein, Eric W. Angle Trisection (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4792645-4