Nomogramă

Nomogramă (din altă greacă νόμος - lege și γράμμα - litera) - reprezentare grafică a unei funcții a mai multor variabile , care permite utilizarea unor operații geometrice simple (de exemplu, aplicarea unei rigle) pentru a explora dependențe funcționale fără calcule. De exemplu, rezolvați o ecuație pătratică fără a utiliza formule.

Nomografie

Reprezentările geometrice ale dependențelor dintre variabile, eliminând calculele, sunt cunoscute de multă vreme. Dezvoltarea teoriei construcțiilor nomografice a început în secolul al XIX-lea. Teoria construcției nomogramelor grile rectilinie a fost creată pentru prima dată de matematicianul francez L. L. Lalanne (1843). Bazele teoriei generale a construcțiilor nomografice au fost date de M. Okan (1884-1891) - în lucrările sale a apărut pentru prima dată termenul „nomogramă” , stabilit pentru utilizare în 1890 de către Congresul Internațional al Matematicienilor de la Paris. N. M. Gersevanov (1906-1908) a fost primul care a lucrat în acest domeniu în Rusia ; apoi - N. A. Glagolev , care a creat școala nomografică sovietică .

Particularitatea nomogramelor este că fiecare desen ilustrează o anumită zonă de schimbare a variabilelor și fiecare dintre valorile variabilelor din această zonă este afișată pe nomogramă printr-un anumit element geometric (punct sau linie); imaginile valorilor variabilelor legate de dependența funcțională sunt pe nomogramă într-o anumită corespondență, comună pentru nomogramele de același tip.

Nomogramele se disting prin metoda de afișare a valorilor variabilelor (puncte sau linii) și prin metoda de setare a corespondenței dintre imaginile variabilelor. Cele mai comune nomograme sunt:

din punctele aliniate Pentru ecuațiile cu trei variabile se folosesc trei scale, care sunt construite astfel încât cele trei puncte care satisfac ecuația să se afle pe aceeași linie dreaptă - de unde și denumirea tipului de nomogramă. Cu ei a început dezvoltarea nomografiei - o ramură a matematicii care combină teoria și metodele practice pentru construirea nomogramelor. plasă Pentru a construi nomograme de grilă din linii drepte, se folosesc grile funcționale, dintre care cele mai simple sunt logaritmice și semi-logaritmice. Pe lângă o linie dreaptă, pot fi utilizați și alți așa-numiți indici de nomogramă de rezoluție : cercuri (Godsel), o curbă arbitrară (Schwerdt), catete ale unui pătrat de desen (Sigler) etc. transparent În cel mai simplu caz, este format din două planuri - planul principal și transparența - cu imagini ale variabilelor pe ele. Bannerul este adesea realizat din material transparent. Un exemplu de nomogramă transparentă este o regulă de calcul .

La construirea nomogramelor de grilă, se poate stabili o sarcină suplimentară, anamorfoza : pentru a găsi o astfel de transformare în care toate cele trei familii de linii ale nomogramei se transformă în familii de linii, ceea ce simplifică desenul acesteia.

Pentru ecuațiile cu multe variabile se folosesc nomograme compuse, formate din nomograme legate prin scale comune sau familii de linii.

Exemple

Rezistență paralelă / lentile subțiri

Nomograma din figură vă permite să calculați

Nomograma este interesantă prin faptul că permite calcule neliniare utile folosind o linie dreaptă pe scale gradate liniar.

A și B sunt măsurate pe scara orizontală și verticală, iar rezultatul este citit de pe scara diagonală. Fiind proporțională cu media armonică a numerelor A și B , formula are mai multe aplicații. De exemplu, rezistența conductoarelor conectate în paralel în rețelele electrice și ecuația lentilelor subțiri în optică .

În figură, linia roșie arată că, cu o conexiune paralelă a rezistențelor de 56 și 42  ohmi, rezistența circuitului va fi de 24 ohmi. Nomograma mai arată că un obiect aflat la o distanță de 56 cm de o lentilă cu o distanță focală de 24 cm formează o imagine optică la o distanță de 42 cm.

Nomograma chi-pătrat

Nomograma din figură poate fi utilizată pentru a aproxima unele dintre cantitățile necesare pentru a calcula binecunoscutul test de bunătate a potrivirii lui Pearson . Această nomogramă arată utilizarea scărilor curbate cu gradări neliniare.

Expresia corespunzătoare este:

Scara din partea de sus corespunde la cinci intervale diferite de valori observate - A, B, C, D și E. Valoarea observată este căutată printre aceste valori și este selectată o etichetă deasupra acesteia. Apoi, valoarea așteptată este selectată pe scalele curbe corespunzătoare. De exemplu, pentru o valoare observată de 9, se alege o etichetă peste numărul 9 din intervalul A, iar curba de scară A este utilizată pentru valoarea așteptată. Pentru o valoare observată de 81, se va folosi un semn peste 81 în intervalul E și o curbă pe scară E pentru valoarea așteptată. Acest lucru permite mai multor nomograme să se potrivească într-o diagramă.

În figură, linia albastră arată calculul

(9 − 5) 2 / 5 = 3,2,

iar cel roșu este calculul

(81 - 70) 2/70 = 1,7.

Corecția Yates este adesea folosită pentru a efectua testul  - pur și simplu scădeți 0,5 din valorile observate. Nomograma pentru testul corectat cu Yates poate fi construită prin simpla deplasare a fiecărei scale de „observare” cu jumătate de unitate la stânga, astfel încât, în loc de 1,0, 2,0, 3,0, ..., valorile să pară a fi 0,5, 1,5 , 2,5 , ….

Vezi și

• Diagramă
• grafică cognitivă

Literatură

• Pentkovsky M. V. Nomografie . - M. - L .: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1949. - 280 p. - (Biblioteca fizico-matematică a unui inginer).
• Pentkovsky M. V. Numărarea desenelor. (nomograme). - Ed. a II-a. - M. , 1959.
• Gersevanov N. M. Fundamentele nomografiei. - Ed. a II-a. - M. - L. , 1932.
• Glagolev N. A. Fundamentele teoretice ale nomografiei. - Ed. a II-a. - M. - L .: GTTI, 1936.
• Glagolev N. A. Curs de nomografie. - Ed. a II-a. - M. , 1961.
• Nevsky B. A. Carte de referință despre nomografie. - Ed. a II-a. - M. - L .: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1951. - 376 p.
• Culegere nomografică. - M. , 1951.
• Nomografie / Pentkovsky M. V.  // Nikko - Otoliths. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1974. - ( Marea Enciclopedie Sovietică  : [în 30 de volume]  / redactor-șef A. M. Prokhorov  ; 1969-1978, vol. 18).
• Khovansky G.S. Nomografie // Ed. IM Vinogradova Enciclopedia de Matematică . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3: Coordonate - Monomial .
• G. S. Khovanskii. Nomografie  (engleză)  // Encyclopedia of Mathematics . — Springer, Societatea Europeană de Matematică. — ISBN 1402006098 .

Link -uri

• Applet Java  (engleză) pentru crearea celor mai simple nomograme.