Medie armonică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 2 decembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Media armonică este una dintre modalitățile prin care se poate înțelege valoarea „medie” a unui anumit set de numere. Poate fi definită după cum urmează: să fie date numere pozitive , atunci media lor armonică va fi un astfel de număr încât $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $H$

{\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}

Se poate obține o formulă explicită pentru media armonică:

H(x_{1},\ldots,x_{n})={\frac {n}({\frac {1}{x_{1})}+{\frac {1}{x_{2 }}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1} ^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}

adică, media armonică este reciproca mediei aritmetice a numerelor reciproce cu . $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Proprietăți

Media armonică este într-adevăr „medie”, în sensul că . $\min(x_{1},\ldots,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots,x_ {n})$
În general, media armonică este media puterii -1.
Media armonică este duală cu media aritmetică în următorul sens:

H(x_{1},\ldots,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots, x_{n}^{-1})

și

A(x_{1},\ldots,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots, x_{n}^{-1})

(când acesta din urmă este definit).

Inegalitatea medie afirmă că media armonică a numerelor nu depășește media geometrică , media aritmetică și media patratică , iar toate mediile sunt egale numai dacă toate numerele sunt egale, adică: $x_{1}=\ldots =x_{n},$

H\leqslant G\leqslant A\leqslant S,

unde este media armonică;

H

G

— medie geometrică;

A

- in medie;

S

- rădăcină medie pătrată.

Media ponderată armonică

Să fie un set de numere nenegative și un set de numere , unde se numește greutatea cantității . Atunci media lor armonică ponderată este numărul $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ $w_{i}$ $x_{i}$

H=\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\bigg /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{ i}}}={\dfrac {w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}}{w_{1}/x_{1}+w_{2}/x_{2}+\ldots +w_{n}/x_{n}}}.

Din formula rezultă că la (când toate mărimile sunt „egale”) se obține media armonică obișnuită. $w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0$

Aplicații și exemple

În statistică , media armonică este utilizată atunci când observațiile pentru care este necesară media aritmetică sunt setate la reciproca valorilor.

În formula lentilelor subțiri , de două ori distanța focală este egală cu media armonică a distanței de la lentilă la obiect și a distanței de la lentilă la imagine. În mod similar, media armonică este de asemenea inclusă într-o formulă similară pentru o oglindă sferică .

Viteza medie pe traseu, împărțită în secțiuni egale, a cărei viteză este constantă, este egală cu media armonică a vitezelor pe aceste secțiuni ale traseului. Mai general, dacă traseul este împărțit în secțiuni, viteza pe fiecare dintre acestea fiind constantă, atunci viteza medie va fi egală cu media armonică ponderată a vitezelor (fiecare viteză vine cu o pondere egală cu lungimea segmentului corespunzătoare la el).

Densitatea medie a aliajului este egală cu media armonică ponderată a densităților substanțelor aliate (greutățile sunt masele părților substanțelor corespunzătoare).

Rezistența , obținută prin conectarea mai multor rezistențe în paralel , este egală cu media armonică a rezistențelor acestora, împărțită la numărul lor. O afirmație similară este valabilă pentru capacitățile condensatoarelor conectate în serie .

Note

↑ Rowe S. Exerciții geometrice cu o bucată de hârtie . - Ed. a II-a. - Odesa: Matesis, 1923. - P. 65. Copie de arhivă din 24 mai 2012 la Wayback Machine

Vezi și

Link -uri

Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld--O resursă web Wolfram

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție