Poincaré-Dulac formă normală

În teoria sistemelor dinamice , forma normală Poincare – Dulac este forma normală a unui câmp vectorial sau a unei ecuații diferențiale obișnuite într-o vecinătate a punctului său singular .

Formulare

Rezonanțe

Prin definiție, rezonanța pentru o mulțime este egalitatea $(\lambda _{1},\;\ldots,\;\lambda _{n})\in \mathbb {C} ^{n)$

\lambda _{j}=\langle \lambda ,\;k\rangle ,

(*)

unde . $k\in \mathbb {Z} ^{n},\;k_{1},\;\ldots ,\;k_{n}\geqslant 0,\;k_{1}+\ldots +k_{ n}\geqslant 2$

Monomiul rezonant al unui câmp vectorial a cărui parte liniară este redusă la forma normală Jordan cu valori proprii se numește monom $\lambda _{1},\;\ldots,\;\lambda _{n)$

z^{k}\partial /\partial z_{j},

unde și pentru și este satisfăcut (*). $z^{k}=z_{1}^{k_{1}}\ldots z_{n}^{k_{n}}$ $\lambda$ $k$

Teorema Poincaré-Dulac

Teorema. Un câmp vectorial formal cu un punct singular la origine este echivalent formal cu un câmp vectorial formal a cărui parte liniară este redusă la forma normală Jordan și toate monomiile diferite de zero sunt rezonante.

Forma indicată în teoremă se numește forma normală rezonantă Poincaré-Dulac .

Concepte înrudite

Regiunile Poincaré și Siegel

Se spune că un vector este în domeniul Poincaré dacă zero nu se află în corpul convex al punctelor . În caz contrar, se spune că aparține zonei Siegel . În cele din urmă, dacă zero aparține corpului convex împreună cu o parte din vecinătatea acestuia , se spune că vectorul aparține domeniului Siegel strict . $\lambda \in \mathbb {C} ^{n}$ $\lambda _{1},\;\ldots,\;\lambda _{n}\in \mathbb {C} \sim \mathbb {R} ^{2)$ $\lambda$

În cazul unui vector cu valori proprii aparținând domeniului Poincaré, forma normală rezonantă Poincaré-Dulac este de fapt polinomială. În cazul unor astfel de valori proprii, se poate argumenta că câmpul vectorial este echivalent analitic cu forma sa normală rezonantă.

Teorema lui Levell

Teorema lui Levell , care descrie forma normală rezonantă a unui punct singular fuchsian

{\dot {z}}={\frac {A(t)}{t}}z

poate fi considerat liniar în varianta formei normale Poincaré-Dulac pentru sistemul extins $z$

\left\{{\begin{array}{l}{\dot {z}}=A(t)z,\\{\dot {t}}=t.\end{array}}\right .

Literatură

Arnold VI, Ilyashenko Yu. S. Ecuații diferențiale ordinare. Sisteme dinamice - 1 // Itogi nauki i tekhniki. — Ser. "Modern. prob. mat. Fundam. directii". - Numarul 1. — M.: VINITI, 1985. — p. 7-140.
Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Prelegeri despre ecuații diferențiale analitice.