Punct singular fuchsian

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 martie 2017; verificările necesită 3 modificări .

În teoria ecuațiilor diferențiale cu timp complex , un punct este numit punct singular fuchsian al unei ecuații diferențiale liniare $t=t_{0}\in \mathbb {C}$

{\dot {z}}=A(t)z,\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad t\in \mathbb {C} ,

dacă matricea sistemului A(t) are un pol de ordinul întâi în ea. Aceasta este cea mai simplă singularitate posibilă a unei ecuații diferențiale liniare cu timp complex.

Se mai spune că este un punct singular fuchsian dacă punctul se dovedește a fi fuchsian după modificare , cu alte cuvinte, dacă matricea sistemului tinde spre zero la infinit. $t=\infty$ $s=0$ $t=1/s$ $La)$

Cel mai simplu exemplu

O ecuație diferențială unidimensională are un punct singular fuchsian la zero, iar soluțiile sale sunt (în general, cu mai multe valori ) funcții . Când mergem în jurul zero, soluția este înmulțită cu . ${\dot {z}}={\frac {a}{t}}z$ $z(t)=C\cdot t^{a)$ $\lambda =e^{2\pi ia}$

Creșterea soluțiilor și cartografierea monodromiei

Când se apropie de un punct singular fuchsian în orice sector, norma soluției nu crește mai repede decât polinomial:

\|z(t-t_{0})\|\leq C\|t-t_{0}\|^{-N)

pentru unele constante şi . Astfel, fiecare punct singular fuchsian este regulat . $C$ $N$

Poincaré-Dulac-Levelle formă normală

A 21-a problemă a lui Hilbert

Problema a douăzeci și unu a lui Hilbert a fost aceea că, date puncte de pe sfera Riemann și o reprezentare a grupului fundamental al complementului lor, construiesc un sistem de ecuații diferențiale cu singularități fuchsiane în aceste puncte, pentru care monodromia se dovedește a fi o reprezentare dată. Multă vreme s-a crezut că această problemă a fost rezolvată pozitiv de către Plemel (care a publicat soluția în 1908 ), dar o eroare a fost descoperită în soluția sa în anii 1970 de Yu. S. Ilyashenko . De fapt, construcția lui Plemelj a făcut posibilă construirea sistemului necesar atunci când cel puțin una dintre matricele monodromiei este diagonalizabilă . [unu]

În 1989, A. A. Bolibrukh a publicat [2] un exemplu de ansamblu de puncte singulare și matrici de monodromie care nu pot fi realizate de niciun sistem fuchsian, rezolvând astfel problema negativ.

Literatură

↑ Yu. S. Ilyashenko, „ Problema neliniară Riemann-Hilbert ”, Ecuații diferențiale cu timp real și complex, Colecția de articole, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, p. 10-34.
↑ A. A. Bolibrukh, „Problema Riemann-Hilbert pe linia proiectivă complexă” , Mat. note, 46:3 (1989), 118-120

A. A. Bolibrukh, Probleme de monodromie inversă în teoria analitică a ecuațiilor diferențiale, M.: MTsNMO, 2009.
Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Curs on Analytic Differential Equations, AMS, 2007.