Volumul (geometrie)

Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi ( măsuri ) care caracterizează capacitatea unei regiuni din spațiu pe care o ocupă. Inițial, a apărut și a fost aplicat fără o definiție strictă în raport cu corpurile spațiului euclidian tridimensional . Primele definiții precise au fost date de Peano ( 1887 ) și Jordan ( 1892 ). Ulterior, conceptul a fost generalizat de Lebesgue la o clasă mai largă de mulțimi.

Abordări ale definiției

Pentru a determina volumul, există mai multe abordări semnificativ diferite care se completează reciproc și sunt consecvente în rezultatul final pe „seturi bune”. De obicei, conceptul de volum este înțeles ca măsura Jordan , dar uneori măsura Lebesgue . Pentru varietățile riemanniene, conceptul de volum este introdus în mod similar conceptului de suprafață .

Conceptul de volum admite generalizări firești asupra conceptului de volum -dimensional în spațiul -dimensional, și în cazul spațiilor riemanniene și pseudo-riemanniene de dimensiune arbitrară. $n$ $n$

Volumele celor mai simple corpuri

Figura	Formulă	Notaţie
cub	$c^{3}$	$c$ - muchia cubului
Prismă	$SH$	$S$ - suprafața bazei, - înălțimea prismei $h$
Cilindru	$\pi r^{2}h$	$r$ este raza , este înălțimea cilindrului $h$
Minge	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	$r$ - raza
Elipsoid	${\frac {4}{3}}\pi abc$	$a,\;b,\;c$ - axele principale
Piramidă	${\frac {1}{3}}Ah$	$A$ - zona bazei, - înălțimea piramidei $h$
Con	${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$	$r$ - raza bazei, - înălțimea conului $h$

Arhimede a reușit să stabilească că o sferă și conuri cu un vârf comun, înscrise într-un cilindru, sunt legate după cum urmează:

два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3.

Arhimede a cerut să doboare o minge înscrisă într-un cilindru pe mormântul său.

Formula integrală generală

Volumul unui corp în spațiul tridimensional este calculat ca o integrală triplă : $D$

V=\iiiint \limits _{D}1\dxdydz

(în coordonate carteziene )

V=\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz

(în coordonate cilindrice )

V=\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

(în coordonate sferice )

Vezi și

Note

Literatură

Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F., Formule matematice de bază. Manual / Ed. Bogdanova Yu. S. Ed. al doilea, revizuit si suplimentare Minsk, „Cea mai înaltă școală”, 1988
Merzon G.A., Yashchenko I.V. Lungime, suprafață, volum. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Tsypkin A.G. Manual de matematică pentru școlile secundare. - Ed. a IV-a, Rev. și adaugă.-M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1988. - 432 p.