Egalitatea (matematică)

  0 unu 2 3 patru 5 6 7 opt 9
0 • × × × × × × × × ×
unu × • × × × × × × × ×
2 × × • × × × × × × ×
3 × × × • × × × × × ×
patru × × × × • × × × × ×
5 × × × × × • × × × ×
6 × × × × × × • × × ×
7 × × × × × × × • × ×
opt × × × × × × × × • ×
9 × × × × × × × × × •
Egalitatea cifrelor zecimale ca relație binară: • adevărat, × fals

Egalitatea (relația de egalitate) în matematică  este o relație binară , cel mai puternic tip de relație de echivalență din punct de vedere logic .

Definițiile egalității

Egalitatea este o relație intuitivă: sensul a două expresii este același . În definiția sa formală, există o inconsecvență.

Teoria mulțimilor , prin definiție, consideră două obiecte (adică două mulțimi ) egale dacă constau din aceleași elemente:

În teoriile cu tipărirea obiectelor , relația de egalitate are sens doar între elemente de același tip (cu alte cuvinte, în cadrul unui anumit set). Logiciștii (mai întâi în logica predicatelor lui Frege , apoi în teoria tipurilor) s-au bazat pe o definiție a egalității similară cu teoria mulțimilor, dar luând în considerare relațiile dintr-un unghi diferit:

Adică, pentru egalitatea a două obiecte , este necesar și suficient ca orice predicat care poate fi construit pe un anumit tip să dea aceeași valoare booleană asupra lor. Cu toate acestea, nu logiciștii au venit cu această definiție - era cunoscută chiar și de Leibniz .

Unele teorii formale eludează definiția egalității, considerând-o a fi o relație de echivalență dată inițial.

Definiții înrudite

Definiția formală și înțelegerea intuitivă a egalității sunt uneori în conflict. Este numărul (întreg) 1 egal cu numărul (real) ? Din punct de vedere al intuiției, da, dar din punctul de vedere al teoriei tipurilor, întrebarea este pusă incorect (cf. cu problema turnării tipurilor în programare). În matematică, în astfel de cazuri, este implicată o încorporare canonică a unui set (spațiu, tip) într-un altul, mai mare. Problema egalității unui număr întreg cu un număr real poate fi înțeleasă ca egalitatea unui număr real propriu-zis și a unui alt număr real corespunzător întregului nostru. Adică, lucrul cu fapte intuitiv „evidente”, cum ar fi fiecare număr întreg este rațional și rațional este real, necesită rezerve speciale în cadrul unor abordări formale.

O ecuație este o declarație logică  construită folosind egalitate , care include o variabilă . Specifică un subset al domeniului de subiect al variabilei - setul de rădăcini ale ecuației.

Definiția unei cantități sau variabile se scrie folosind egalitate: Fie variabila egală cu expresia.

O identitate  este o afirmație care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor. Este adesea (deși nu neapărat) construit pe baza unei relații de egalitate.

Vezi și