Paradoxul gemenilor

Paradoxul gemenilor este un experiment de gândire care încearcă să demonstreze inconsecvența teoriei speciale a relativității . Potrivit SRT , din punctul de vedere al observatorilor „staționari”, toate procesele din obiectele în mișcare încetinesc . Pe de altă parte, principiul relativității declară egalitatea cadrelor de referință inerțiale. Pe aceasta se construiește un argument care duce la o aparentă contradicție. Pentru claritate, este luată în considerare povestea a doi frați gemeni. Unul dintre ei (denumit în continuare „călător”) pleacă într-un zbor spațial, al doilea (denumit în continuare „călător”) rămâne pe Pământ. După zbor, călătorul se întoarce pe Pământ. Cel mai adesea, „paradoxul” este formulat după cum urmează:

Formularea I. Din punctul de vedere al persoanei de origine, ceasul călătorului în mișcare are o mișcare lentă a timpului , așa că la întoarcere, trebuie să fie în spatele ceasului persoanei de acasă. Pe de altă parte, în cadrul de referință al călătorului, Pământul se mișca și accelera, așa că ceasul persoanei de origine trebuie să rămână în urmă. De fapt, frații sunt egali, prin urmare, după întoarcere, ceasurile lor ar trebui să arate aceeași oră.

Cu toate acestea, potrivit SRT , dacă potențialul gravitațional al Pământului nu este luat în considerare, atunci ceasul călătorului va rămâne în urmă. Într-o astfel de încălcare a simetriei aparente a fraților, se vede o contradicție.

Istorie

Efectul dilatării relativiste a timpului a fost formulat de Albert Einstein în lucrarea sa din 1905 ca următoarea teoremă:

Dacă există două ceasuri care funcționează sincron în punctul A și mișcăm unul dintre ele de-a lungul unei curbe închise cu o viteză constantă până când revin la A (care va dura, să zicem, t sec), atunci acest ceas, la sosirea în A va rămas în urma ceasului, care a rămas nemișcat... [1]

Sub forma unui paradox , acest efect a fost formulat în 1911 de Paul Langevin [2] . Oferirea paradoxului de o istorie vizuală a călătoriilor în spațiu a făcut-o populară, inclusiv în cercurile non-științifice. Langevin însuși credea că explicația paradoxului este legată de mișcarea accelerată a călătorului, care este necesară pentru întoarcerea sa pe Pământ.

Următoarea analiză a paradoxului a fost întreprinsă de Max von Laue în 1913 [3] . Din punctul său de vedere, nu etapele de accelerație ale călătorului sunt importante, ci chiar faptul că acesta schimbă cadrul de referință inerțial la întoarcerea pe Pământ.

După crearea teoriei generale a relativității, Albert Einstein în 1918 a explicat paradoxul cu ajutorul faptului că câmpul gravitațional influențează cursul timpului [4] .

De fapt, conform teoriei generale a relativității, ceasul merge mai repede, cu atât potențialul gravitațional este mai mare în locul în care se află.

Apoi, în 1921, o explicație simplă bazată pe invarianța timpului propriu a fost propusă de Wolfgang Pauli [5] .

De ceva vreme, „paradoxul gemenilor” nu a atras aproape deloc atenția. În 1956-1959, Herbert Dingle a publicat o serie de lucrări [6] [7] susținând că explicațiile cunoscute pentru „paradox” erau greșite. În ciuda erorii argumentului lui Dingle [8] [9] , munca sa a provocat numeroase discuții în reviste științifice și populare [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] . Drept urmare, au apărut o serie de cărți pe acest subiect. Dintre sursele în limba rusă, merită remarcate cărțile [18] [19] [20] [21] , precum și articolul [22] .

Majoritatea cercetătorilor nu consideră „paradoxul gemenului” ca fiind o demonstrație a contradicției teoriei relativității, deși istoria apariției anumitor explicații ale „paradoxului” și a conferirii de noi forme nu se oprește până în zilele noastre [23]. ] [24] [25] [26] [27] .

Clasificarea explicațiilor paradoxale

Un paradox similar cu „paradoxul gemenului” poate fi explicat folosind două abordări:

1) Dezvăluie originea erorii logice în raționamentul care a condus la contradicție; 2) Efectuați calcule detaliate ale mărimii efectului de dilatare a timpului din poziția fiecăruia dintre frați.

Prima abordare depinde de detaliile formulării paradoxului. În secțiunile „ Cele mai simple explicații ” și „Cauza fizică a paradoxului” vor fi date diverse versiuni ale „paradoxului” și se vor da explicații pentru ce contradicția nu apare de fapt.

Ca parte a celei de-a doua abordări, calculele citirilor de ceas ale fiecăruia dintre frați sunt efectuate atât din punctul de vedere al unui homebody (ceea ce de obicei nu este dificil), cât și din punctul de vedere al unui călător. Deoarece acesta din urmă și-a schimbat cadrul de referință , există diferite opțiuni pentru a lua în considerare acest fapt. Ele pot fi împărțite condiționat în două grupuri mari.

Primul grup include calcule bazate pe teoria relativității speciale în cadrul cadrelor de referință inerțiale. În acest caz, etapele mișcării accelerate sunt considerate neglijabile în comparație cu timpul total de zbor. Uneori este introdus un al treilea cadru inerțial de referință, îndreptându-se spre călător, cu ajutorul căruia citirile ceasului său sunt „transmise” fratelui său de acasă. În secțiunea „ Schimb de semnal ” va fi dat cel mai simplu calcul bazat pe efectul Doppler .

Al doilea grup include calcule care iau în considerare detaliile mișcării accelerate . La rândul lor, ele sunt împărțite pe baza utilizării sau neutilizarii teoriei gravitației (GR) a lui Einstein în ele. Calculele care utilizează relativitatea generală se bazează pe introducerea unui câmp gravitațional efectiv , echivalent cu accelerația sistemului și luând în considerare modificările ratei timpului în acesta. În a doua metodă , sistemele de referință non-inerțiale sunt descrise în spațiu-timp plat și conceptul de câmp gravitațional nu este implicat. Ideile principale ale acestui grup de calcule vor fi prezentate în secțiunea „ Cadre de referință non-inerțiale ”.

Efectele cinematice ale SRT

SRT se bazează pe transformările Lorentz . Pentru a înțelege esența paradoxului gemenilor, este necesară o analiză atentă a principalelor efecte cinematice care decurg din acestea. Luați în considerare două cadre de referință și , ale căror axe spațiale sunt paralele între ele. Lăsați sistemul să se miște relativ de-a lungul axei cu o viteză , apoi: $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle x$ $\textstyle v$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;t'=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

unde - coordonatele și timpul în cadrul de referință "fix" , - coordonatele și timpul în cadrul "în mișcare" . $\textstyle(x,t)$ $\textstyle S$ $\textstyle (x',t')$ $\textstyle S'$

Încetinirea timpului

Dacă ceasul este staționar în sistem (în propriul cadru de referință), atunci pentru două evenimente succesive care au loc la un moment dat în sistem , egalitatea este valabilă . Astfel de ceasuri se deplasează în raport cu sistemul conform legii . Apoi, din transformările Lorentz rezultă că intervalul de timp dintre evenimente din sistem este legat de intervalul dintre aceleași evenimente din sistem prin egalitate: $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta x'=0$ $\textstyle S$ $\textstyle \Delta x=v\Delta t$ $\textstyle \Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta t$ $\textstyle S$ $~~~\Delta t'=\Delta t\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2)}}.$

Este important de înțeles că în această formulă, intervalul de timp este măsurat cu o oră de odihnă ( ). Este comparată cu citirile mai multor ceasuri diferite, care funcționează sincron situate în sistem ( ), pe lângă care ceasul zboară cu o viteză de . $\textstyle \Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta x'=0$ $\textstyle \Delta t$ $\textstyle S$ $\textstyle \Delta x\neq 0$ $v$ $\textstyle S'$

Intervalul de timp măsurat de ceasul din sistem între evenimentele din sistem este mai mare decât intervalul măsurat de ceasul în propriul său cadru de referință : deoarece $\textstyle \Delta t$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta t>\textstyle \Delta t'$

\Delta t={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

În sistem , ceasul în mișcare rulează mai lent decât în propriul cadru de referință . $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S'$

Un punct important al efectului de dilatare a timpului este legat de echivalența cadrelor de referință inerțiale ( principiul relativității ). Ceasurile care sunt staționare în cadru : se deplasează în raport cu ceasurile sincronizate din cadru : și merg mai încet decât în propriul cadru de referință : deoarece $\textstyle S$ $\textstyle \Delta x=0$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta x'=-v\Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle \Delta t'>\textstyle \Delta t$

\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

În ciuda notării anterioare, ultima formulă nu o contrazice pe cea anterioară. Fiecare dintre ele descrie diferite proceduri de măsurare. În primul caz, un ceas care se odihnește în sistem (propriul său cadru de referință) trece peste câteva ore la , iar în al doilea caz, situația este inversată: un ceas din propriul său cadru de referință trece peste câteva ore la . $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$

Relativitatea simultaneității

Relativitatea simultaneității evenimentelor este efectul cheie al SRT, care este necesar pentru înțelegerea „paradoxului gemenului”. Luați în considerare un cadru de referință care se deplasează cu o viteză în direcția axei sistemului . În fiecare dintre sisteme , ceasurile sincronizate sunt situate de-a lungul axelor. Să fie observatori lângă fiecare ceas în ambele cadre de referință. În transformările Lorentz, se presupune că la momentul de timp originile sistemelor de referință coincid: . Mai jos este o astfel de sincronizare a referinței de timp (pe ceasul „central”) din punctul de vedere al observatorilor din sistemul de referință (imaginea din stânga) și din punctul de vedere al observatorilor din (imaginea din dreapta): $\textstyle S'$ $v$ $\textstyle x$ $\textstyle S$ $\textstyle x$ $X'$ $\textstyle t'=t=0$ $\textstyle x'=x=0$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$

Introducând transformările Lorentz , obținem . Aceasta înseamnă că observatorii din sistem , concomitent cu coincidența orei pe ceasul central , înregistrează diferite citiri pe ceasurile din sistem (figura din stânga). Pentru observatorii din , situat în dreapta punctului , cu coordonate , la momentul de timp, ceasul cadrului de referință fix arată timpul „viitor”: . Observatorii din stânga fixează ora „trecută” a ceasului : . Poziția mâinilor simbolizează diferența dintre citirile ceasului celor două cadre de referință. De exemplu, două evenimente care au avut loc la un moment dat în puncte diferite ale sistemului , nu apar simultan în cadrul de referință din punctul de vedere al observatorilor din sistem : evenimentul din stânga are loc înaintea celui din dreapta. $\textstyle t'=0$ $\textstyle t=vx/c^2$ $\textstyle S'$ $\textstyle t'=t=0$ $\textstyle x'=x=0$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle x=0$ $\textstyle x>0$ $\textstyle t'=0$ $\textstyle S$ $\textstyle t=vx/c^2>0$ $\textstyle S'$ $\textstyle x=0$ $\textstyle S$ $\textstyle t<0$ $\textstyle t'=0$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$

Această afirmație este adevărată pentru orice moment în timp . Din transformările Lorentz rezultă că dacă , atunci Prin urmare, dacă , atunci și . Aceasta înseamnă că în cadrul de referință evenimentul din stânga în punctul are loc înaintea celui din dreapta în punctul : . Acest fapt este fixat de ceasurile sincronizate în sistem . Astfel, observatorii din ambele sisteme vor stabili non-simultaneitatea evenimentelor din sistem . $t'$ $\Delta t'=0$ $\Delta t={\frac {v}{c^{2}}}\Delta x.$ $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $\textstyle S$ $x_{1}$ $x_{1}<x_{2}$ $x_{2}$ $t_{1}<t_{2}$ $\textstyle S$ $\textstyle S$

Deoarece sistemele sunt egale , din punctul de vedere al observatorilor sistemului, ceasurile din sistem nu sunt sincronizate. Evenimentele care au loc simultan în diferite puncte ale sistemului nu au loc simultan în sistem pentru observatorii ambelor sisteme. $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$

În fiecare cadru inerțial de referință poate fi introdus un singur „real”, adică ceasuri care rulează sincron în diferite puncte din spațiu. Cu toate acestea, nu există un singur „real” pentru două cadre de referință diferite.

Din punctul lor de vedere, sistemul care se deplasează în raport cu observatorii staționari conține ceasuri desincronizate în direcția mișcării, un fel de unire continuă a „trecutului”, „prezentului” și „viitorului”.

Efectele dilatării timpului și relativitatea simultaneității sunt strâns legate între ele și la fel de necesare pentru a calcula situația descrisă în „paradoxul” gemenilor.

Cele mai simple explicații

Datorită istoriei sale lungi, paradoxul gemenilor există într-o varietate de formulări. Cel mai adesea, o metodă sau alta demonstrează simetria fraților, din care ar trebui să urmeze o contradicție cu concluzia SRT că ceasul călătorului va rămâne în urmă. Versiunea originală a paradoxului ( Formularea I ) nu specifică natura mișcării călătorului. Prin urmare, următoarea explicație simplă este valabilă pentru aceasta (la nivel calitativ):

Explicația I. Frații nu sunt egali, întrucât unul dintre ei (călătorul) a experimentat etapele de mișcare accelerată necesare întoarcerii sale pe Pământ [2] .

Cu toate acestea, după cum arată datele experimentale, accelerația ca atare nu afectează viteza ceasului [28] . Astfel, în acest caz, accelerația este doar un indicator al unui fenomen care introduce asimetrie în stările călătorului și ale cartofii de canapea.

Desigur, constatarea asimetriei fraților nu explică în sine de ce ceasul călătorului ar trebui să încetinească, și nu cel al căminului. În plus, apare adesea neînțelegeri:

„De ce încălcarea egalității fraților pentru un timp atât de scurt (oprirea călătorul) duce la o încălcare atât de izbitoare a simetriei?”

Acest lucru poate fi văzut clar în Fig. 1 și 2, care arată aceeași situație din puncte de vedere diferite. Pe fig. 1 ia în considerare cadrul de referință inerțial asociat cu Pământul. Orez. 2 prezintă cadrul inerțial asociat navei. Cu toate acestea, deoarece nava nu se mișcă uniform tot timpul (presupunem în mod condiționat că traiectoria sa constă din două secțiuni de mișcare uniformă separate prin accelerație pe termen scurt), cadrul de referință inerțial poate coincide cu nava doar o parte a traseului său. Considerăm un sistem care coincide cu nava în prima jumătate a călătoriei sale.

După cum se poate observa din fig. 1 și 2:

În ambele cazuri, linia lumii a Pământului este dreaptă.
În ambele cazuri, linia mondială a navei este o linie întreruptă.

Deoarece linia întreruptă în orice sistem de referință este mai lungă decât linia dreaptă, călătorul parcurge o cale mai lungă în spațiu-timp, iar o cale mai lungă corespunde unui timp propriu mai mic.

Pentru a înțelege mai bine cauzele asimetriei și consecințele la care acestea conduc, este necesar să evidențiem încă o dată premisele cheie care sunt prezente explicit sau implicit în orice formulare a paradoxului. Pentru a face acest lucru, vom presupune că de-a lungul traiectoriei călătorului în cadrul de referință „fix” asociat cu homebody, există ceasuri care rulează sincron (în acest cadru). Atunci următorul lanț de raționament este posibil, ca și cum ar dovedi inconsecvența concluziilor SRT:

Călătorul, care zboară pe lângă orice ceas care este staționar în sistemul homebody, observă mersul lor încet.
Ritmul mai lent al ceasului înseamnă că citirile sale acumulate vor rămâne în urma ceasului călătorului, iar pe un zbor lung, arbitrar mult.
După ce s-a oprit rapid, călătorul trebuie să observe întârzierea ceasului situat la „punctul de oprire”.
Toate ceasurile din sistemul „fix” funcționează sincron, așa că și ceasul fratelui de pe Pământ va rămâne în urmă, ceea ce contrazice concluzia SRT.

Așadar, de ce și-ar observa călătorul de fapt ceasul său rămas în urmă cu cel al sistemului „staționar”, în ciuda faptului că toate aceste ceasuri merg mai încet din punctul său de vedere? Cea mai simplă explicație [29] în cadrul SRT este că este imposibil să se sincronizeze toate ceasurile în două cadre de referință inerțiale. Să aruncăm o privire mai atentă la această explicație.

Cauza fizică a paradoxului

În timpul zborului, călătorul și persoana de origine se află în puncte diferite din spațiu și nu pot compara direct ceasurile lor. Prin urmare, ca mai sus, vom presupune că de-a lungul traiectoriei călătorului în sistemul „imobil” asociat cu homebody, există ceasuri identice, care funcționează sincron, pe care călătorul le poate observa în timpul zborului. Datorită procedurii de sincronizare în sistemul de referință „imobil”, se introduce un singur timp, care determină în momentul de față „prezentul” acestui sistem.

După pornire, călătorul „se transferă” la un cadru de referință inerțial , mișcându-se relativ „staționar” cu o viteză . Acest moment în timp este luat de frați ca fiind inițial . Fiecare dintre ei va vedea cum ceasul celuilalt frate încetinește. $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle v$ $\textstyle t=t'=0$

Cu toate acestea, un singur sistem „real” pentru călător încetează să mai existe. Sistemul de referință are propriul său „real” (multe ceasuri sincronizate). Pentru un sistem , cu cât părțile sistemului sunt mai îndepărtate de-a lungul drumului călătorului, cu atât sunt mai îndepărtate „viitorul” (din punctul de vedere al sistemului „real” ). $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$

Călătorul nu poate observa direct acest viitor. Acest lucru ar putea fi făcut de către alți observatori ai sistemului situat înaintea mișcării și având timpul sincronizat cu călătorul. $\textstyle S'$

Prin urmare, deși toate ceasurile dintr-un cadru fix de referință pe lângă care zboară călătorul sunt mai lente din punctul său de vedere, nu rezultă de aici că vor rămâne în urma ceasului său.

La momentul t , cu cât ceasul „staționar” este mai departe, cu atât citirea sa mai mare din punctul de vedere al călătorului. Când va ajunge la acele ore, ele nu vor fi suficient de în urmă pentru a compensa diferența de timp inițială. $\textstyle t'=0$

Într-adevăr, să punem coordonatele călătorului în transformările Lorentz egale cu . Legea mișcării sale față de sistem are forma . Timpul scurs de la începerea zborului, conform ceasului din sistem , este mai mic decât în : , deoarece $\textstyle x'=0$ $\textstyle S$ $\textstyle x=vt$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $t'<t$

t ′ = t − v ( v t ) / c 2 unu − v 2 / c 2 = t unu − v 2 / c 2 . {\displaystyle t'={\frac {tv(vt)/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))=t\,{\sqrt {1 -v^{2}/c^{2}}}.} $t'={\frac {tv(vt)/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))=t\,{\sqrt {1 -v^{2}/c^{2}}}.$

Cu alte cuvinte, timpul de pe ceasul călătorului este în urmă față de ceasul sistemului . În același timp, ceasul pe lângă care zboară călătorul este încă la : . Prin urmare, ritmul lor de progres pentru călător pare lent: $t'$ $t$ $S$ $\textstyle S$ $\textstyle \Delta x = 0$

\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} > \Delta t.

În acest fel:

în ciuda faptului că toate ceasurile particulare din sistem funcționează mai lent din punctul de vedere al unui observator în , diferite ceasuri de-a lungul traiectoriei sale vor arăta timpul care a trecut înainte. $\textstyle S$ $\textstyle S'$

Diferența de frecvență a ceasului și - efectul este relativ, în timp ce valorile citirilor curente și la un punct spațial - sunt absolute. Observatorii care se află în cadre de referință inerțiale diferite , dar „în același” punct spațial, pot întotdeauna compara citirile curente ale ceasurilor lor. Călătorul, zburând pe lângă ceasul sistemului , vede că au mers înainte . Prin urmare, dacă călătorul decide să se oprească (frânează rapid), nimic nu se va schimba și va cădea în „viitorul” sistemului . Desigur, după oprire, ritmul ceasului său și ceasul de intrare vor deveni același. Cu toate acestea, ceasul călătorului va afișa mai puțin timp decât ceasul sistemului la punctul de oprire. Datorită orei uniforme din sistem , ceasul călătorului va rămâne în urma tuturor ceasurilor , inclusiv al fratelui său. După oprire, călătorul se poate întoarce acasă. În acest caz, întreaga analiză se repetă. Drept urmare, atât la punctul de oprire și de întoarcere, cât și la punctul de plecare la întoarcere, călătorul este mai tânăr decât fratele său-casa. $\Delta t$ $\Delta t'$ $t$ $t'$ $\textstyle S$ $\textstyle t>t'$ $\textstyle S$ $\textstyle S$ $\textstyle S$ $\textstyle S$ $\textstyle S$

Dacă, în loc să-l oprească pe călător, cel care sta acasă accelerează până la viteza lui, atunci el va „intra” în „viitorul” sistemului călătorului. Drept urmare, „homebody” va fi mai tânăr decât „călător”. În acest fel:

care își schimbă cadrul de referință, se dovedește a fi mai tânăr.

Semnalizare

Calculul dilatarii timpului din pozitia fiecarui frate poate fi realizat prin analizarea schimbului de semnale intre ei [30] . Deși frații, aflându-se în puncte diferite ale spațiului, nu pot compara direct citirile ceasurilor lor, ei pot transmite semnale de „ora exactă” folosind impulsuri de lumină sau transmisie video a imaginii ceasului. Este clar că, în acest caz, ei observă nu ora „actuală” pe ceasul fratelui, ci „trecutul”, deoarece semnalul necesită timp pentru a se propaga de la sursă la receptor.

La schimbul de semnale, trebuie luat în considerare efectul Doppler . Dacă sursa se îndepărtează de receptor, atunci frecvența semnalului scade, iar când se apropie, crește:

unde este frecvența naturală a radiației și este frecvența semnalului primit de observator. Efectul Doppler are o componentă clasică și o componentă relativistă direct legată de dilatarea timpului. Viteza inclusă în raportul de schimbare a frecvenței este viteza relativă a sursei și a receptorului. $\textstyle \nu_0$ $\textstyle \nu$ $\textstyle v$

Luați în considerare o situație în care frații își transmit unul altuia în fiecare secundă (prin ceasurile lor) semnalele exacte de timp. Să facem mai întâi calculul din punctul de vedere al călătorului. $\textstyle \nu_0=1$

Calculul calatorului

În timp ce călătorul se îndepărtează de Pământ, el, datorită efectului Doppler , înregistrează o scădere a frecvenței semnalelor primite. Fluxul video de pe Pământ pare a fi mai lent. După frânarea și oprirea rapidă, călătorul încetează să se îndepărteze de semnalele pământești, iar perioada lor imediat [com 1] se dovedește a fi egală cu secunda lui. Ritmul difuzării video devine „natural”, deși, din cauza caracterului finit al vitezei luminii, călătorul încă observă „trecutul” fratelui său. După ce s-a întors și a accelerat, călătorul începe să „fuge” [com 2] pe semnalele care vin spre el și frecvența acestora crește (din nou datorită efectului Doppler ). „Mișcările fratelui” pe videoclipul difuzat din acest moment încep să pară accelerate pentru călător [com 3] .

Timpul de zbor conform ceasului călătorului într-o direcție este egal cu , și același în sens opus. Numărul de „secunde Pământ” luate în timpul călătoriei este egal cu frecvența lor înmulțită cu timpul. Prin urmare, atunci când se îndepărtează de Pământ, călătorul va primi semnificativ mai puține „secunde”: $\textstyle t'_1$ $\textstyle t'=2t'_1$ $\textstyle \nu$

t_1 = t'_1\cdot \sqrt{\frac{cv}{c+v}} < t'_1,

iar când se apropie, dimpotrivă, mai mult:

t_2 =t'_1\cdot \sqrt{\frac{c+v}{cv)) > t'_1.

Numărul total de „secunde” primite de la Pământ în timpul t este mai mare decât cele transmise acestuia: $\textstyle t'=2t'_1$

t = t_1 + t_2 = t'_1\cdot \frac{cv}{\sqrt{c^2-v^2}} + t'_1\cdot \frac{c+v}{\sqrt{c^2- v^2}}= \frac{t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}},

în conformitate exactă cu formula de dilatare a timpului.

Calculul unui homebody

Aritmetică oarecum diferită pentru un homebody. În timp ce fratele său se îndepărtează, el înregistrează și o perioadă crescută de timp exact transmis de călător. Cu toate acestea, spre deosebire de fratele său, homebody observă o astfel de încetinire pentru mai mult timp . Timpul de zbor pentru o distanță într-o direcție este conform ceasurilor pământului . Starea acasă va vedea frânarea și virajul călătorului după timpul suplimentar necesar pentru ca lumina să parcurgă distanța de la punctul de cotitură. Prin urmare, numai după timpul de la începutul călătoriei, homebody va înregistra funcționarea accelerată a ceasului [comm 4] al fratelui care se apropie: $\textstyle L$ $\textstyle t_1$ $\textstyle t_2=L/c$ $\textstyle L$ $\textstyle t_1+t_2$

Timpul de mișcare a luminii de la punctul de cotitură este exprimat în termeni de timpul de zbor al călătorului până la acesta, după cum urmează (vezi figura):

t_2=\frac{L}{c}=\frac{vt_1}{c}.

Prin urmare, numărul de „secunde” primite de la călător, înainte de momentul rândului său (conform observațiilor persoanei de origine) este egal cu:

t'_1 = (t_1+t_2)\cdot\sqrt{\frac{cv}{c+v}} = t_1\cdot \left(1+\frac{v}{c}\right)\cdot\sqrt{ \frac{cv}{c+v}} = t_1\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Ședința acasă primește semnale cu o frecvență crescută în timp (vezi figura de mai sus) și primește „secundele” călătorului: $\textstyle t_1-t_2$ $\textstyle t'_2$

t'_2= (t_1-t_2) \cdot\sqrt{\frac{c+v}{cv}} = t_1\cdot \left(1-\frac{v}{c}\right)\cdot\sqrt{ \frac{c+v}{cv}} = t_1\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Numărul total de „secunde” primite pentru acea perioadă este egal cu: $\textstyle t=2t_1$

t'= t'_1+t'_2 = t\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}.

Astfel, raportul pentru citirea ceasului la momentul întâlnirii dintre călător ( ) și fratele de acasă ( ) nu depinde de punctul de vedere al cui se calculează. $\textstyle t'$ $\textstyle t$

Interpretare geometrică

În spațiul Minkowski, linia mondială a unui observator în repaus (sau care se mișcă uniform și rectiliniu) este un segment de linie dreaptă. Linia lumii a unui călător care a zburat departe de Pământ și s-a întors la el nu este o linie dreaptă (în cel mai simplu caz al unei schimbări instantanee a vitezei la opus la punctul de cotitură, este o linie întreruptă, iar la trecerea unei părți a traseului cu accelerație constantă, secțiunea corespunzătoare a dreptei va fi un arc de hiperbolă). La fel ca în geometria obișnuită, dintre toate liniile care leagă două puncte, cea mai scurtă este o linie dreaptă, așa că în spațiul Minkowski, dintre toate liniile lumii care leagă două puncte, cea mai lungă (și nu cea mai scurtă datorită spațiului-timp pseudo- euclidian ) este un segment drept.

Deoarece lungimea liniei lumii a unui observator care s-a deplasat în spațiul Minkowski de la punctul a la punctul w este, până la un factor c , egală cu timpul petrecut cu această mișcare în propriul său cadru de referință, avem aceea de toți observatorii care au început în punctul a și cei care au terminat în punctul w , în cadrul de referință al observatorului care a fost în repaus (sau s-a deplasat uniform și rectiliniu, dacă coordonatele spațiale ale punctelor a și w nu se potrivesc), vor trece cel mai grozav timp.

Pentru a înțelege cum se manifestă diferența de timp dintre gemeni, trebuie să înțelegeți că în teoria relativității speciale nu există un concept de prezent absolut . Pentru diferite cadre de referință inerțiale, există diferite seturi de evenimente care sunt simultane în acest cadru de referință. Această relativitate a simultaneității înseamnă că trecerea de la un cadru inerțial de referință la altul necesită o ajustare la care porțiune de spațiu-timp este considerată „reală”. Pe diagrama spațiu-timp din dreapta, desenată pentru cadrul de referință al geamănului pământesc, linia mondială a acestui geamăn coincide cu axa verticală (poziția sa este constantă în spațiu, se mișcă doar în timp). Pe primul segment al potecii, al doilea geamăn se deplasează spre dreapta (linie neagră înclinată); iar pe al doilea segment înapoi la stânga. Liniile albastre arată planurile de simultaneitate pentru geamănul călător în prima etapă a călătoriei; linii roșii la întoarcere. Chiar înainte de a se întoarce, geamănul care călătorește calculează vârsta geamănului Pământului măsurând intervalul de-a lungul axei verticale de la origine până la linia albastră superioară. Imediat după rotație, dacă recalculează, va măsura intervalul de la origine până la linia roșie de jos. Într-un fel, în timpul rulării, planul simultaneității sare de la albastru la roșu și zboară foarte repede printr-un segment mare al liniei mondiale a geamănului pământesc. În timpul tranziției de la cadrul de referință inerțial „de plecare” la cadrul inerțial „întoarcere”, are loc o schimbare bruscă a vârstei geamănului de pe Pământ [31] [32] [33] [34] [35] .

Cadre de referință non-inerțiale

În sistemele de referință arbitrare , proprietățile spațiului și timpului sunt determinate de tensorul metric , care stabilește intervalul dintre două evenimente infinit apropiate: $\textstyle g_{\mu\nu}$

ds^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu = g_{00}\, (dx^0)^2 + 2\,g_{0i}\,dx^0dx^i + g_{ij}\,dx^idx^j,

unde, prin repetarea indicilor, se presupune însumarea (în litere grecești de la 0 la 3, iar în latină de la 1 la 3), - coordonată de timp, - spațială. Ora potrivită a unui ceas de-a lungul traiectoriei sale este definită după cum urmează: $\textstyle x^0=ct$ $\textstyle x^i=(x,y,z)$

\frac{1}{c}\int\limits^t_0 ds.

Valoarea sa este invariabilă , prin urmare, calculele efectuate în sisteme de referință diferite ar trebui să dea același rezultat.

Calculul unui homebody

Geamănul rămas pe Pământ se află în cadrul de referință inerțial , astfel încât metrica pentru acesta poate fi aleasă în așa fel încât

ds^2=(cdt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2.

În acest caz, ora potrivită a oricărui ceas ia o formă simplă:

\int\limits^t_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)/c^2}\cdot dt,

unde este viteza ceasului. Ceasurile Pământului sunt staționare ( ), iar timpul lor propriu este egal cu coordonatele timpului . Ceasul de călător are o viteză variabilă . Deoarece rădăcina sub integrală rămâne mai mică decât unu tot timpul, timpul acestor ceasuri, indiferent de forma explicită a funcției , se dovedește întotdeauna a fi mai mic decât . Ca urmare . $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstyle \mathbf{u}=0$ $\textstyle \tau_0=t$ $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstyle t$ $\textstyle \tau'_0<\tau_0$

Dacă accelerația și decelerația sunt relativ accelerate uniform (cu parametrul de accelerație proprie ) în timpul , iar mișcarea uniformă este , atunci timpul va trece conform ceasului navei [36] : $\textstyle a$ $\tau_1$ $\tau_2$

\tau_0 = \frac{2c}{a}\,\ln\left[\frac{a\tau_1}{c}+\sqrt{1+\left(\frac{a\tau_1}{c}\right) ^2}\right] + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2)) = \frac{2c}{a}\, \operatorname{arcsinh}\frac{a \tau_1}{c} + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2))

, unde este arcsinusul hiperbolic

\operatorname{arcsinh}

Luați în considerare un zbor ipotetic către sistemul stelar Alpha Centauri , aflat la distanță de Pământ la o distanță de 4,3 ani lumină . Dacă timpul se măsoară în ani, iar distanțele în ani lumină, atunci viteza luminii este egală cu unu, iar accelerația unitară a anului lumină/an² este apropiată de accelerația gravitației și este aproximativ egală cu 9,5 m/s². $\textstyle c$ $\textstyle a=1$

Lăsați nava spațială să se miște pe jumătate cu accelerația unitară și încetiniți cealaltă jumătate cu aceeași accelerație ( ). Apoi nava se întoarce și repetă etapele de accelerare și decelerare. În această situație, timpul de zbor în sistemul de referință al pământului va fi de aproximativ 12 ani, în timp ce conform ceasului de pe navă vor trece 7,3 ani. Viteza maximă a navei va atinge 0,95 din viteza luminii. $\textstyle \tau_2=0$

În 59 de ani de timp adecvat, o navă spațială cu accelerație unitară ar putea face o călătorie (întoarcerea pe Pământ) în galaxia Andromeda , la 2,5 milioane de ani lumină distanță. ani . Pe Pământ, în timpul unui astfel de zbor, vor trece aproximativ 5 milioane de ani. Dezvoltând o accelerație de două ori mai mare (cu care o persoană instruită se poate obișnui într-un număr de condiții și folosind o serie de dispozitive, de exemplu, animație suspendată ), ne putem gândi chiar la o expediție la marginea vizibilă a Universului ( aproximativ 14 miliarde de ani lumină), ceea ce va dura astronauților aproximativ 50 de ani; totuși, întorcându-se dintr-o astfel de expediție (după 28 de miliarde de ani conform ceasurilor pământești), participanții ei riscă să nu găsească în viață nu doar Pământul și Soarele, ci chiar și galaxia noastră Calea Lactee. . Pe baza acestor calcule, o rază rezonabilă de acces pentru expedițiile interstelare cu întoarcere nu depășește câteva zeci de ani lumină, cu excepția cazului în care, desigur, sunt descoperite principii fizice fundamental noi ale mișcării în spațiu-timp. Cu toate acestea, descoperirea a numeroase exoplanete sugerează că sistemele planetare se găsesc lângă o proporție destul de mare de stele, așa că astronauții vor avea ceva de explorat în această rază (de exemplu, sistemele planetare ε Eridanus și Gliese 581 ).

Calculul calatorului

Pentru a efectua același calcul din poziția călătorului, este necesar să setați tensorul metric corespunzător cadrului său de referință non-inerțial . Fata de acest sistem, viteza calatorului este zero, deci ora de pe ceasul lui este

\tau'_0=\int\limits^t_0\sqrt{g_{00}}\;dt.

Rețineți că este timpul de coordonate și în sistemul călătorului diferă de ora sistemului de referință al persoanei de origine. $\textstyle t$ $\textstyle t$

Ceasul pământesc este liber, deci se mișcă de-a lungul geodezicei definite de ecuația [37] :

\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^\mu_{\nu\lambda}\,\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\lambda}{ds }=0,

unde sunt simbolurile Christoffel , exprimate în termeni de tensor metric . Pentru un anumit tensor metric al unui cadru de referință non-inerțial, aceste ecuații ne permit să găsim traiectoria ceasului persoanei de origine în cadrul de referință al călătorului. Înlocuirea lui în formula pentru timpul corespunzător dă intervalul de timp care a trecut conform ceasului „staționar”: $\textstyle \Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ $\textstyle g_{\mu\nu}$ $\textstyle x^i(t)$

\tau_0 = \int\limits^t_0 \sqrt{g_{00} + 2g_{0i}\,u^i/c + g_{ij}\,u^iu^j/c^2}\cdot dt,

unde este viteza de coordonate a ceasului pământesc. $\textstyle u^i(t)=dx^i/dt$

O descriere similară a sistemelor de referință non-inerțiale este posibilă fie cu ajutorul teoriei gravitației lui Einstein , fie fără referire la aceasta din urmă. Detalii ale calculului în cadrul primei metode pot fi găsite, de exemplu, în cartea lui Fock [38] sau Möller [39] . A doua metodă este considerată în cartea lui Logunov [40] .

Rezultatul tuturor acestor calcule arată că, din punctul de vedere al călătorului, ceasul lui va rămâne în urmă cu cel al unui observator staționar. Ca urmare, diferența de timp de călătorie din ambele puncte de vedere va fi aceeași, iar călătorul va fi mai tânăr decât persoana de origine. Dacă durata etapelor de mișcare accelerată este mult mai mică decât durata zborului uniform, atunci rezultatul unor calcule mai generale coincide cu formula obținută în cadrul cadrelor de referință inerțiale.

Concluzii

Raționamentul din spatele poveștii gemenilor duce doar la o aparentă contradicție logică. Cu orice formulare a „paradoxului”, nu există o simetrie completă între frați. În plus, relativitatea simultaneității evenimentelor joacă un rol important în înțelegerea de ce timpul încetinește tocmai pentru un călător care și-a schimbat cadrul de referință.

Calculul valorii dilatației timpului din poziția fiecărui frate poate fi efectuat atât în cadrul calculelor elementare în SRT, cât și folosind analiza cadrelor de referință neinerțiale. Toate aceste calcule sunt în concordanță între ele și arată că călătorul va fi mai tânăr decât fratele său de origine.

Paradoxul gemenilor este adesea numit în mod eronat și concluzia însăși a teoriei relativității că unul dintre gemeni va îmbătrâni mai mult decât celălalt. Deși această situație este neobișnuită, nu există nicio contradicție inerentă în ea. Numeroase experimente privind prelungirea duratei de viață a particulelor elementare și încetinirea ritmului ceasurilor macroscopice în timpul mișcării lor confirmă teoria relativității. Acest lucru dă motive pentru a afirma că dilatarea timpului descrisă în povestea gemenilor va avea loc și în implementarea efectivă a acestui experiment de gândire.

Vezi și

Comentarii

↑ Aici lumina este considerată în ISO, adică în sistemul unui cartof canapea, nu un călător
↑ „Alergare” din punctul de vedere al unui homebody. În raport cu călătorul, sursa de radiații (homebody) zboară spre.
↑ Aceasta se referă la recepția accelerată a semnalului, totuși, din punctul de vedere al călătorului, întreaga lume a homebody este încetinită în conformitate cu dilatarea relativistă a timpului.
↑ Aceasta se referă la viteza crescută de primire a impulsurilor călătorului datorită mișcării acestuia către.

Note

↑ Einstein A. „ Despre electrodinamica corpurilor în mișcare ”, Ann. d. Fiz., 1905 b. 17, s. 89, traducere rusă în „Einstein A. Colecție de lucrări științifice în patru volume. Volumul 1. Lucrări despre teoria relativității 1905-1920. Moscova: Nauka, 1965.
↑ 1 2 Langevin P. " L'evolution de l'espace et du temps ". Scientia 10:31-54. (1911)
↑ Laue M. (1913) " Das Relativit\"atsprinzip ". Wissenschaft (nr. 38) (2 ed.). (1913)
↑ Einstein A. „ Dialog on objections the theory of relativity ”, Naturwiss., 6, pp.697-702. (1918). Traducere rusă „A. Einstein, Colecția de lucrări științifice, vol. I, M., Știință (1965)
↑ Pauli V. - „ Teoria relativității ” M .: Nauka, 1991.
^ Dingle H. Relativity and Space travel , Nature 177, 4513 (1956).
↑ Dingle H. „ Un posibil test experimental al celui de-al doilea postulat al lui Einstein ”, Nature 183, 4677 (1959).
↑ Coawford F. „ Verificarea experimentală a paradoxului ceasului în relativitate ”, Nature 179, 4549 (1957).
↑ Darvin S., „ Paradoxul ceasului în relativitate ”, Nature 180, 4593 (1957).
↑ Boyer, R., „ Paradoxul ceasului și relativitatea generală ”, Einstein Miscellany, Science, (1968).
↑ Campbell W., „ Paradoxul ceasului ”, Canada. Aeronaut. J.4, 9, (1958)
↑ Frey R., Brigham V., „ Paradoxul gemenilor ”, Amer. J Phys. 25,8 (1957)
↑ Leffert S., Donahue T., „ Paradoxul ceasului și fizica câmpurilor gravitaționale discontinue ”, Amer. J Phys. 26, 8 (1958)
↑ McMillan E., „ The "clock-paradox" and Space travel ", Science, 126, 3270 (1957)
↑ Romer R., „ Paradoxul gemenilor în relativitatea specială ”. amer. J Phys. 27, 3 (1957)
↑ Schild, A. „ Paradoxul ceasului în teoria relativității ”, Amer. Matematică. Mouthly 66, 1, 1-8 (1959).
↑ Singer S., „ Relativitatea și călătoriile în spațiu ”, Nature 179.4567 (1957)
↑ Skobeltsyn D. V. , „ Paradoxul gemenilor în teoria relativității ”, „Știință”, (1966).
↑ Goldenblat I.I., „ Paradoxurile timpului în mecanica relativistă ”, M. „Nauka”, (1972).
↑ Terletsky Ya. P. „ Paradoxurile teoriei relativității ”, M.: Nauka (1965)
↑ Ugarov V. A. - „ Teoria specială a relativității ” M .: „Nauka”, (1977)
↑ M. Born , „ Călătorie în spațiu și paradoxul ceasului ” Arhivat 18 octombrie 2016 la Wayback Machine , UFN, 69, nr. 1 (1959)
↑ Dray T., „ The Twin Paradox Revisited ” Amer. J. de Phys. V.58, I.9, pp.822-825 (1990)
↑ Debs TA. Roșcată, MLG „ Paradoxul gemenilor ” Amer. J. de Phys. V.64; N.4, pp.384-391, (1996)
↑ Cranor MB, Heider EM, Price RH „ A circular twin paradox ” Amer. J. de Phys. V.68; P.11, pp.1016-1020 (2000)
↑ Muller T., King A., Adis D., „ O călătorie la sfârșitul universului și paradoxul gemenilor ” Amer. J. de Phys. V.76; N.4/5, p.360-373 (2008)
↑ Grandou T., Rubin JL, „ Despre ingredientele paradoxului gemenesc” Int.J. a lui Theor. Phys., V. 48, N. 1, p. 101-114 (2009)
↑ Mizner C., Thorn C., Wheeler J. § 38.4. VERIFICAREA EXISTENȚEI UNEI METRICE DE DETERMINARE A MĂSURĂTORILOR LUNGIMII ȘI A TIMPULUI ȘI ȘI CINEMATICA PARTICULUI // Gravitația. - M . : Mir, 1977. - T. 3. - S. 296. - 512 p.
↑ Paradoxul gemenilor . Preluat la 23 iulie 2022. Arhivat din original la 16 mai 2021. (nedefinit)
↑ Eisenlohr H., Another Note on the Twin Paradox, Amer. J. Phys., 36, 635 (1968) [1]
↑ Ohanian, Hans. Relativitatea specială: o introducere modernă. - Lakeville, MN: Curriculum și instruire în fizică, 2001. - ISBN 0971313415 .
↑ Harris, Randy. Fizica modernă. - San Francisco, CA : Pearson Addison-Wesley, 2008. - ISBN 978-0805303087 .
↑ Kogut, John B. Introducere în relativitate: pentru fizicieni și astronomi . - Presa Academică, 2012. - P. 35. - ISBN 978-0-08-092408-3 . Arhivat la 30 aprilie 2021 la Wayback Machine Extras de la pagina 35 Arhivat la 20 februarie 2017 la Wayback Machine
↑ Wheeler, J., Taylor, E. (1992). Spacetime Physics, ediția a doua. W. H. Freeman: New York, pp. 38, 170-171.
↑ Einstein, A., Lorentz, HA, Minkowski, H. și Weyl, H. (1923). Arnold Sommerfeld. ed. Principiul relativității. Publicații Dover: Mineola, NY. p. 38.
↑ Mișcarea accelerată în relativitatea specială, site-ul „Lumea relativistică - prelegeri despre teoria relativității, gravitației și cosmologiei”
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoria câmpului. - Ediția a 8-a, stereotip. — M .: Fizmatlit , 2006 . — 534 p. - („Fizica teoretică”, Volumul II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
↑ Fok V.A. „ Theory of Space, Time and Gravity ” M.: State ed.tekh.-theor.lit., (1955)
↑ Möller K. " Teoria relativității " M.: " Atomizdat ", 1975.
↑ Logunov A. A. , „ Prelegeri despre teoria relativității și gravitației. Analiza modernă a problemei ", M.: "Știința" (1987)

Informații suplimentare

Prezentare generală a Twin Paradox în Întrebările frecvente privind fizica Usenet
Wolfgang Rindler, Wolfgang Rindler. Dilatarea timpului // Relativitate: specială, generală și cosmologică (engleză) . - Oxford University Press , 2006. - P. 43. - ISBN 0198567316 .
Animații FLASH: de la John de Pillis. (Scena 1): „Vedere” din punctul de vedere al geamănului Pământului. (Scena 2): „Vedere” din punctul de vedere al geamănului călător. (Engleză)
Twin paradox / Website Relativistic world — prelegeri despre teoria relativității, gravitației și cosmologiei

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Mare norvegian Rusă mare in jurul lumii Britannica (online)