Paradoxul energiei cinetice

Paradoxul energiei cinetice este un experiment de gândire în cadrul mecanicii clasice , care ar indica o încălcare a principiului relativității lui Galileo . Când viteza unui corp se modifică, creșterea energiei sale cinetice într-un cadru de referință nu este egală cu creșterea într-un alt cadru de referință. Acest lucru presupune existența unor sisteme de referință, în care legea conservării energiei este încălcată și, ca urmare, principiul relativității lui Galileo este încălcat.

Motor intern

Luați în considerare o mașină de jucărie cu un arc principal care poate stoca energie potențială . Vom neglija pierderile de energie din cauza frecării . Lăsați această rezervă de energie să poată accelera jucăria la viteză . Să trecem la un alt cadru inerțial de referință , care se deplasează în raport cu Pământul spre mașină cu o viteză de . Din punctul de vedere al acestui sistem de referință, viteza jucăriei înainte de accelerare este egală , iar energia cinetică este egală cu . Viteza jucăriei după accelerare este egală cu energia cinetică . Astfel, energia cinetică a mașinii a crescut cu , ceea ce depășește rezerva de energie în primăvară [1] . $W$ $v$ $v$ $v$ $W$ $2v$ $4W$ $3W$ $W$

Explicația paradoxului

Paradoxul se explică prin faptul că raționamentul de mai sus nu ia în considerare schimbarea impulsului și a energiei cinetice a Pământului în timpul accelerației jucăriei. Dacă luăm în considerare schimbarea impulsului și a energiei cinetice a Pământului, atunci paradoxul este explicat. Să neglijăm pentru moment mișcarea de rotație a Pământului .

Să trecem la un cadru de referință în care Pământul și jucăria sunt inițial nemișcate. După accelerarea jucăriei, în conformitate cu legea conservării impulsului, puteți scrie ecuația , unde este masa jucăriei, este viteza jucăriei, este masa Pământului, este viteza Pământ. În conformitate cu legea conservării energiei, ecuația poate fi scrisă . Exprimând viteza Pământului din ecuație și substituind în ecuație , obținem [1] . $mv+MV=0$ $m$ $v$ $M$ $V$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $V$ $mv+MV=0$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)$

Să trecem la cadrul de referință, în care Pământul și jucăria se mișcă inițial cu o viteză de . După accelerarea jucăriei, în conformitate cu legea conservării impulsului, puteți scrie ecuația , unde este viteza Pământului după accelerarea jucăriei. În conformitate cu legea conservării energiei, se poate scrie o ecuație pentru a modifica energia cinetică . Exprimăm viteza Pământului din ecuație și o înlocuim în ecuația anterioară. Primim . După transformări simple, obținem . Adică, în acest caz, modificarea energiei cinetice a întregului sistem este egală cu energia potențială a arcului [2] . $v$ $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ $V_{1}$ $\delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+ M )v^{2}}{2}}$ $V_{1}$ $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ $\delta E=3{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {M}{2}}\left[(1-{\frac {m}{M}}) ^{2}v^{2}-v^{2}\dreapta]$ $\delta E={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)=W$ $W$

Modificarea energiei cinetice a jucăriei în noul cadru de referință este de trei ori mai mare decât în cadrul de referință asociat Pământului datorită faptului că se produce nu numai datorită energiei potențiale a izvorului, ci și datorită la faptul că roțile jucăriei din noul cadru de referință încetinesc Pământul [2] .

Să luăm acum în considerare rotația Pământului cauzată de jucărie. Energia cinetică a rotației Pământului va apărea și în partea dreaptă a formulei . Va fi de aceeași ordine cu energia cinetică a mișcării de translație a Pământului , prin urmare, într-un cadru de referință în care Pământul era nemișcat, ea, ca și energia mișcării de translație a Pământului, poate fi neglijată și se poate presupune că toate energia potenţială a arcului este transformată în energia cinetică a jucăriei. În cadrul de referință, unde vitezele jucăriei și ale Pământului sunt egale la început , energia cinetică a rotației Pământului va fi aceeași ca în primul cadru de referință, deoarece modificarea vitezei unghiulare a Pământului . este aceeași în toate cadrele de referință inerțiale. Prin urmare, energia de rotație poate fi neglijată în al doilea cadru de referință [3] . $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $v$

Forța externă

Luați în considerare un corp cu masă care se mișcă cu viteză . Lasă o forță constantă să acționeze asupra acestui corp o perioadă de timp , îndreptată de-a lungul aceleiași linii drepte ca și viteza . Schimbă viteza corpului de la o valoare la o valoare de . Ca urmare a acțiunii acestei forțe, modificarea energiei cinetice a corpului va fi egală cu . $m$ $v_{1}$ $t$ $F$ $v_{1}$ $v_{1}$ $v_{2}$ ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$

Acum să trecem la un alt cadru de referință, deplasându-ne față de cadrul de referință anterior uniform și rectiliniu, cu o viteză direcționată de-a lungul aceleiași linii drepte ca și viteza . În acest cadru de referință, modificarea energiei cinetice va fi egală , adică va fi mai mică decât în primul cadru de referință, ceea ce nu este în concordanță cu principiul relativității lui Galileo [4] . $v$ $v_{1}$ ${\frac {m}{2}}((v_{2}-v)^{2}-(v_{1}-v)^{2})={\frac {m}{2} }(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})$

Explicația paradoxului

Principiul relativității cere ca aceleași legi fizice să fie respectate în cele două cadre de referință luate în considerare. Astfel, trebuie îndeplinită legea conservării energiei , conform căreia schimbarea energiei corpului trebuie să fie egală cu munca forțelor externe. Prin urmare, în primul sistem, relația trebuie să fie adevărată . Iată lungimea traseului parcurs de corp în primul sistem în timpul în care viteza a crescut de la la . Deoarece corpul se mișcă cu accelerație , atunci . ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=Fs$ $s$ $v_{1}$ $v_{2}$ ${\frac {F}{m)}$ $s=v_{1}t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$

în cel de-al doilea sistem . Iată lungimea drumului parcurs de corp în cel de-al doilea sistem . Deci, . De când , atunci . Astfel . ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})=Fs_{1}$ $s_{1}$ $s_{1}=(v_{1}-v)t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$ $s-s_{1}=vt$ ${\frac {F}{m}}=a={\frac {(v_{2}-v_{1})}{t}}$ $t={\frac {m(v_{2}-v_{1})}{F)),s-s_{1}={\frac {mv(v_{2}-v_{1}) {F}}$ $F(s-s_{1})=mv(v_{2}-v_{1})$

Lucrul unei forțe externe în primul cadru de referință este cu atât mai mare decât în al doilea, cu cât modificarea energiei cinetice în primul cadru este mai mare decât în al doilea. Deoarece în primul sistem schimbarea energiei este egală cu munca forțelor externe, acest lucru este valabil și pentru al doilea sistem. În consecință, principiul relativității lui Galileo nu este încălcat [4] .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Butikov, 1989 , p. 73.
↑ 1 2 Butikov, 1989 , p. 74.
↑ Butikov, 1989 , p. 75.
↑ 1 2 Shaskolskaya M. P. , Eltsin I. A. Culegere de probleme selectate în fizică. - M., Nauka, 1986. - p. 24, 111

Literatură

E.I. Butikov , A.A. Bykov , A.S. Kondratiev . Fizica în exemple și sarcini. - M. : Nauka, 1989. - 464 p. — ISBN 5-02-014057-0 .
Aruncarea unei mingi dintr-o mașină în mișcare // Mark Levi. De ce pisicile aterizează în picioare. Princeton University Press, 2012. pp. 74-76.