Specificarea parametrilor suprafeței

Clasa suprafețelor parametrice tridimensionale este definită de o funcție care depinde de parametri și mapează o mulțime conectată din spațiul n-dimensional în spațiul tridimensional în așa fel încât această mapare să fie o suprafață . Această funcție specifică o clasă de suprafață, iar un set de parametri specifică o suprafață specifică din această clasă. $F(t_{1},\ldots,t_{k}):\mathbb {M} \la \mathbb {R} ^{3)$ $k$ ${\mathbb {M}}$ $F$ $k$

Cel mai practic caz este atunci când mulțimea este un pătrat unitar în spațiu bidimensional. În acest caz, suprafața parametrică poate fi descrisă după cum urmează: ${\mathbb {M}}$

(x,y,z)=F(u,v)

sau , unde

\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&X(u,v)\\y&=&Y(u,v)\\z&=&Z(u,v)\end{array)} \dreapta.

(u,v)\in [0,1]^{2}

Suprafețele parametrice sunt utilizate pe scară largă în geometria aplicată și grafica computerizată pentru a reprezenta suprafețe complexe. Parametrizarea face ca astfel de suprafețe să fie convenabile pentru prelucrare și afișare .

Exemple

Plan Un punct și o bază a doi vectori necoliniari în spațiul tridimensional definește un plan și o mapare pe acesta a unui sistem de coordonate carteziene bidimensional . Aceasta determină -parametrizarea planului ( și sunt parametri): ${\vec {O}}$ ${\vec {l}}_{1},{\vec {l}}_{2}$ $UV$ $u$ $v$ $(x,y)={\vec {O}}+u{\vec {l}}_{1}+v{\vec {l}}_{2}$

N-gon plat. În general, o parametrizare într-un N-gon poate fi introdusă folosind sistemul de coordonate baricentric .

Triunghi Acest caz special cel mai important al N-gon merită o atenție specială. Cea mai obișnuită modalitate de a parametriza un triunghi este să mapați un triunghi din -spațiu pe el liniar. $UV$

Sfera Pentru a parametriza o sferă, cel mai convenabil este să utilizați sistemul de coordonate cu același nume :
$\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \cos \theta \\y&=&\rho \cos \varphi \sin \theta \\z&=&\ rho \sin \varphi \end{array}}\right.,\quad \varphi \in \left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2}}\right ],\;\theta \in [0,2\pi )$ .

Suprafața laterală a unui cilindru circular infinit . Este destul de natural să folosiți un sistem de coordonate cilindric : $\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \\y&=&\rho \sin \varphi \\z&=&z\end{array}}\right. ,\quad \varphi \in [0,2\pi ),z\in (-\infty ,+\infty )$ .

Patrulaterul de interpolare biliniară . Un set ordonat de 4 puncte în spațiu definește o suprafață de interpolare biliniară și mapează un pătrat pe ea : $P_{1},\ldots ,P_{4)$ $u,v\in [0,1]$

(x,y)=P_{1}uv+P_{2}(1-u)v+P_{3}u(1-v)+P_{4}(1-u)(1-v )

Această suprafață este netedă , cu toate acestea, imposibilitatea de a seta tangente arbitrare pe limita sa o face practic inaplicabilă ca petice .

Suprafata Bezier . În practică, sunt utilizate în principal două tipuri de suprafețe Bezier: bicubic de ordinul 3 - un patrulater definit de 16 puncte și baricentric de ordinul 3 - un triunghi definit de 10 puncte. Sistemul de coordonate baricentric dintr-un triunghi conține 3 numere, deci nu este întotdeauna convenabil.

Limita unei suprafețe Bezier este alcătuită din curbe Bezier . Punctele care definesc suprafața definesc și curbele limitelor acesteia, inclusiv normalele de pe ele. Acest lucru vă permite să creați suprafețe netede compuse , adică să utilizați suprafețele Bezier ca petice . O suprafață rațională Bezier este diferită prin aceea că fiecărui punct din definiția sa i se atribuie o anumită „greutate”, care determină gradul de influență asupra formei suprafeței.

Suprafata B-spline . În practică, suprafețele bicubice B-spline sunt aplicate în mod obișnuit . La fel ca suprafețele Bézier , ele sunt definite de 16 puncte, cu toate acestea, în general, nu trec prin aceste puncte. Cu toate acestea, B-splines-urile sunt convenabile de utilizat ca patch-uri, deoarece se potrivesc bine între ele atunci când utilizați o grilă comună de vârfuri, iar vârfurile în sine vă permit să setați în mod explicit normale și tangente la granițele patch-urilor.

Dacă este necesar un control mai flexibil al formei suprafeței, se folosesc B-spline raționale, B-spline neomogene , precum și o versiune combinată - B-spline raționale neomogene (NURBS).

Proprietăți

Lasă . Apoi: ${\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u} &Y'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(y,z)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix}Y'_{u}&Y' _{v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)))={\ începe{vmatrix}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatrix}}$

Normala într-un punct de pe suprafață este dată de:

{\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v))});\,{\frac {D(z,x)}{D(u, v ))));\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)} {D (u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left ({ \frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}

Planul tangent într-un punct dat poate fi descris prin ecuația:

{\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(x-x_{0})+{\frac {D( z,x)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(y-y_{0})+{\frac {D(x,y)}{D(u ,v)}}_{u_{0},v_{0}}(z-z_{0})=0

Aria unei suprafețe definite parametric este calculată prin formulele:

\iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D (y,z)}{D(u,v)}}\dreapta)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\dreapta)^ {2}}}\;\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v

\iint \,\left|[{\dot {r}}_{u}\times {\dot {r}}_{v}]\right|\;\mathrm {d} \,u\ ;\mathrm {d} \,v

, Unde

{\dot {r}}_{u}=\left({\frac {\partial x}{\partial u)),\,{\frac {\partial y}{\partial u)), \,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right),\quad {\dot {r}}_{v}=\left({\frac {\partial x}{\partial v} },\,{\frac {\partial y}{\partial v)),\,{\frac {\partial z}{\partial v))\right)

Literatură

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometrie analitică. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. - M . : Gutardă. — 570 p.
Rogers D., Adams J. Fundamentele matematice ale graficii pe computer. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .