Sistemul pitagoreic

Sistemul pitagoreic este un sistem muzical, a cărui teorie este asociată cu școala pitagoreică de armonică . Încă din Antichitatea târzie, teoreticienii muzicii proeminenți ( Nikomachus , Iamblichus , Boethius și alții) i-au atribuit-o direct lui Pitagora .

Ideea matematică abstractă a sistemului pitagoreic (ca un lanț de cincimi) s-a dezvoltat în epoca barocului vest-european .

În unele articole științifice este denumit și „sistemul pitagoreic”. .

Este de obicei reprezentat ca o secvență de cincimi (sau patri), de exemplu astfel (un lanț de 6 cincimi de la sunetul fa ):

F - C - G - D - A - E - H

sau ca scara diatonica :

C		D		E		F		G		A		H		C
unu		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2
	Ton întreg		Ton întreg		Limma		Ton întreg		Ton întreg		Ton întreg		Limma
	8 : 9		8 : 9		243 : 256		8 : 9		8 : 9		8 : 9		243 : 256
	203,91 c		203,91 c		90,22 c		203,91 c		203,91 c		203,91 c		90,22 c

În muzica occidentală, scara pitagoreică este creditată ca bază nu numai pentru monodia antică , ci și pentru muzica polifonică din Evul Mediu. Teoreticienii muzicali continuă să descrie intervale bazate pe acordul pitagoreic. , deși cântatul și apoi muzica instrumentală polifonică tonale au început să stăpânească acordul pur nu mai târziu de secolul al XVI-lea . În comparație cu acesta din urmă, pitagora este o scară de octava-cinca generată de intervale naturale ale unei octave pure (1:2) și ale unei cincimi pure (2:3) [1] . Pentru toți cei implicați în relațiile de intervale ale sistemului pitagoreic de numere, factorizările se bazează pe numere prime cu o valoare nu mai mare de 3. Din acest motiv, în special în mediul de limbă engleză, sistemul pitagoreic este numit și limită . tuning 3 ( ing. 3-limit tuning ).

Tabel cu intervale pitagoreene

Următorul tabel prezintă intervale pitagoreene până la o octavă și obținute în cel mult 18 cincimi. Intervalele diatonice (adică cele care apar în diatonica pitagoreică în 7 trepte și sunt obținute în cel mult 6 pași a cincea) sunt cu caractere aldine. Intervalele cromatice sunt marcate cu caractere regulate (apărând, împreună cu intervalele diatonice, pe scara de octave pitagoreice în 12 trepte și obținute în 7-11 trepte a cincea). Restul, intervale „dicromatice” (sau „enarmonice”) obținute prin 12-18 trepte a cincea, sunt în cursive. Acestea din urmă (cu excepția virgulei pitagoreice corespunzătoare celei de-a șaptea mărite fără octavă și a celei diminuate) corespund intervalelor diatonice de două ori mărite și diminuate.

Abrevieri: „m”. - mic; "b." - mare; "minte." - redus; „uv”. - mărită.

Coloanele Q și O ale tabelului arată, respectiv, numărul de cincimi și de octave, a căror amânare are ca rezultat un interval dat (în acest caz, numerele pozitive corespund amânării în sus, iar numerelor negative în jos). De exemplu, valorile Q = −9 și O = 6 corespund șaptei reduse, adică șaptea redusă se obține prin amânarea cu 9 cincimi în jos și cu 6 octave în sus față de sunetul dat (înălțimea); astfel, are un raport de frecvență a sunetului egal cu

\left({\frac 32}\right)^{{-9}}\times \left({\frac 21}\right)^{6}=2^{{15}}\cdot 3^{{- 9))={\frac {32768}{19683}}.

Totodata, numarul O (pentru intervale mai mici de o octava) este determinat in mod unic de numarul Q, fiind in dependenta functionala de acesta , determinat prin formula:

{\mathrm {O}}=-\lfloor {\mathrm {Q}}\times (\log _{2}{3}-1)\rfloor ,

unde este partea întreagă a numărului [2] . $\lfloor x\rfloor$ $X$

În plus, fiecare dintre intervalele indicate în tabel este reprezentat în mod unic ca o sumă de T tonuri întregi (enumerate în coloana T ), L limm (coloana L ) și K comunicații pitagoreene (coloana K ), sub restricții

0\leqslant T\leqslant 6,\qquad 0\leqslant L\leqslant 1,\qquad -2\leqslant K\leqslant 1

După cum se poate observa din tabel, pentru intervalele diatonice, are loc una dintre cele trei perechi de egalități: și , sau și , sau și (adică intervalul diatonic este întotdeauna egal fie cu un număr întreg de tonuri, fie cu un număr întreg de tonuri cu o limă adăugată sau mai puțin decât un număr întreg de tonuri per comunicație pitagoreică). Pentru intervalele cromatice, în plus, relațiile și , sau și , și „dicromatic” (în cursive) - de asemenea și , sau și . $L=0$ $K=0$ $L=1$ $K=0$ $L=0$ $K={-1}$ $L=1$ $K=1$ $L=1$ $K={-1}$ $L=0$ $K=1$ $L=0$ $K={-2}$

Nume	Q	O	T	L	K	Atitudine	Valoarea în cenți	Pas de la c	Exemple suplimentare
unison, prima	0	0	0	0	0	1:1	0,00	c
Virgulă pitagoreică (a șaptea crescută fără octavă) [3]	12	-7	0	0	unu	531441:524288	23.46	A lui	des-cis, fes-e, a-gisis
de două ori minte. al treilea	-17	zece	0	unu	-unu	134217728:129140163	66,76	eseses [4]	cis-eses, eis-ges
limma , m. secundă, semiton minor (diatonic).	-5	3	0	unu	0	256:243	90,22	des	e-f, cis-d, des-eses
apotom , uv. prima, semiton major (cromatic).	7	-patru	0	unu	unu	2187:2048	113,69	cis	cis-cisis, des-d, eses-es
minte. al treilea	-zece	6	unu	0	-unu	65536:59049	180,45	eses	cis-es, e-ges
ton întreg b. al doilea	2	-unu	unu	0	0	9:8	203,91	d	d-e, e-fis, B-c, des-es, cis-dis
de două ori uv. prima	paisprezece	-opt	unu	0	unu	4782969:4194304	227,37	cisis	ces-cis, deses-d
de două ori minte. litru	-cincisprezece	9	unu	unu	-unu	16777216:14348907	270,67	taxe	cis-fes, fis-b, cisis-f
semi-diton, m. al treilea	-3	2	unu	unu	0	32:27	294,13	es	d-f, es-ges
uv. al doilea	9	-5	unu	unu	unu	19683:16384	317,60	dis	des-e, es-fis
minte. litru	-opt	5	2	0	-unu	8192:6561	384,36	fes	cis-f, fis-b, dis-ges
deaton, b. al treilea	patru	-2	2	0	0	81:64	407,82	e	d-fis, eis-gisis
de două ori uv. al doilea	16	-9	2	0	unu	43046721:33554432	431,28	dis	ces-dis, es-fisis
de două ori minte. quint	-13	opt	2	unu	-unu	2097152:1594323	474,58	geses	cis-ges, disis-a
litru	-unu	unu	2	unu	0	4:3	498,04	f	d-g, ces-fes
uv. al treilea	unsprezece	-6	2	unu	unu	177147:131072	521,51	eis	des-fis, deses-f
de două ori minte. şaselea	-optsprezece	unsprezece	3	0	-2	536870912:387420489	564,81	măgari [4]	cisis-as, cis-ases
minte. a cincea (triton comatic [5] )	-6	patru	3	0	-unu	1024:729	588,27	ges	cis-g, H-f, e-b
triton, uv. litru	6	-3	3	0	0	729:512	611,73	fis	f-b, des-g
de două ori uv. al treilea	optsprezece	-zece	3	0	unu	387420489:268435456	635,19	eisis	des-fisis, eses-gis
minte. al șaselea ( al cincilea lup din sistemul pitagoreic)	-unsprezece	7	3	unu	-unu	262144:177147	678,49	asuri	cis-as, Gis-es
quint	unu	0	3	unu	0	3:2	701,96	g	d-a, dis-ais
de două ori uv. litru	13	-7	3	unu	unu	1594323:1048576	725,42	fisis	des-gis, deses-a
de două ori minte. al șaptelea	-16	zece	patru	0	-2	67108864:43046721	768,72	heses [4]	cis-heses, cisis-b
m. al şaselea	-patru	3	patru	0	-unu	128:81	792,18	la fel de	d-b, dis-h
uv. a cincea (tetraton)	opt	-patru	patru	0	0	6561:4096	815,64	gis	des-a, eses-b
minte. al șaptelea	-9	6	patru	unu	-unu	32768:19683	882,40	heses	cis-b, Gis-f
b. şaselea	3	-unu	patru	unu	0	27:16	905,87	A	d-h, Es-c
de două ori uv. quint	cincisprezece	-opt	patru	unu	unu	14348907:8388608	929,33	gisis	des-ais, deses-a
de două ori minte. octavă	-paisprezece	9	5	0	-2	8388608:4782969	972,63	ceses 1	Dis—des, Disis—d
m. septima	-2	2	5	0	-unu	16:9	996.09	b	G-f, Des-ces
uv. al șaselea (pentaton)	zece	-5	5	0	0	59049:32768	1019,55	ais	des-h, deses-b
minte. octavă	-7	5	5	unu	-unu	4096:2187	1086,31	ces 1	cis-c, des-deses
b. al șaptelea	5	-2	5	unu	0	243:128	1109,78	h	cis-al lui
de două ori uv. şaselea	17	-9	5	unu	unu	129140163:67108864	1133,24	aisis	ces-ais, eses-cis
minte. nona	-12	opt	6	0	-2	1048576:531441	1176,54	deses 1	Dis-es, Eis-f
octavă	0	unu	6	0	-unu	2:1	1200,00	c 1

Vezi și

Link -uri

Margo Schulter . Tuning Pythagore and Medieval Polyphony Arhivat 12 august 2013 la Wayback Machine
[https://web.archive.org/web/20110920000424/http://www.kholopov.ru/rml-interv.pdf Arhivat 20 septembrie 2011 la Wayback Machine Hugo Riemann Interval Tables ]

Note

↑ Intervalele naturale, sau intervalele din scara naturală , între tonurile 1 și 2, 2 și 3 sunt indicate prin raporturile 1:2 și, respectiv, 2:3.
↑ Această formulă se obține luând logaritmul inegalității , care determină în mod unic dependența mărimii O de mărimea Q. $1\leqslant \left({\frac 32}\right)^{{{\mathrm Q}}}\cdot 2^{{{\mathrm O}}}<2$
↑ O șaptea mărită a scalei pitagoreice (de exemplu, c - his ) este mai lată decât o octavă ( c - c 1 ) de o comunicare pitagoreică.
↑ 1 2 3 Ortografia desemnării literei gradului separat de c printr-un interval dat (a treia, a șasea sau a șaptea diminuată de două ori) necesită indicarea „triplu bemol” ( -eseses ) care denotă reducerea gradului diatonic corespunzător ( în acest caz, respectiv e , a şi h ) în trei semitonuri cromatice; pentru exemple de aceeași distanță între alți pași care nu necesită „accidentale triple”, consultați coloana Exemple suplimentare.
↑ Adică un triton redus cu o virgulă (pitagoreică).

scara muzicala
Sistemul pitagoreic acordare naturală Tonul mijlociu Temperament Egal