Virgulă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 aprilie 2020; verificările necesită 3 modificări .

Virgula ( greacă κόμμα - segment) în teoria muzicii este un nume comun pentru micro -intervale de aproximativ 1/7 - 1/10 dintr-un ton întreg , care, de regulă, apar atunci când se compară intervale de același tip în diferite scale muzicale. [1] . Cele mai cunoscute sunt virgula sintonică (Didim) și virgula pitagoreică (pitagoreică). De asemenea, sunt cunoscute artificiale (Golder sau arabe) și septimale (arkhitova) comms.

Există, de asemenea, virgule mai mici de 1/10 dintr-un ton întreg, de exemplu, virgula lui Mercator [2] , care nu contrazice definiția virgulei ca diferență între valorile matematice a două tonuri aproximativ egale în înălțime [3] . Pe baza acestei definiții, ar trebui recunoscute varietăți de virgulă, de exemplu, diesis mic , mai mult de 1/7 dintr- un ton întreg și schismă , mai puțin de 1/10 dintr-un ton întreg .

Temperamentul egal obișnuit distruge toate varietățile de virgulă, cu excepția unor rare excepții [4] . Când se vorbește despre o virgulă fără a specifica numele acesteia, vorbim despre o virgulă sintonică.

Istorie

În ciuda vechimii termenului (în antichitate a fost folosit în mod activ în contextul învățăturilor retorice ), primele dovezi ale utilizării virgulei ca termen muzical-teoretic se referă doar la secolul al V-lea d.Hr. e. Se găsește în comentariul lui Proclu la Timaeus al lui Platon ( Platon însuși nu are termenul „virgulă”). În literatura latină, prima dovadă a virgulei este în tratatul „Fundamentals of Music” (circa 500) de Boethius . Proclus definește virgula (numită „pitagoreică” în timpurile moderne) ca diferența dintre apotom și limma , dar o calculează ca diferența dintre rapoartele unui ton întreg și două lime (acest calcul al lui Proclus, totuși, conține o eroare aritmetică) . Boethius cunoaște aceste metode, adăugându-le și calculul virgulei ca diferență între șase tonuri întregi și o octavă. Boethius (De inst. mus III, 10). În opinia sa, virgula este cea mai mică (sau „cea mai recentă”) dintre ceea ce este capabilă să perceapă urechea umană (est enim comma, quod ultimum conprehendere possit auditus). În zilele noastre se știe că nu este cazul. Nu numai virgula pitagoreică [5] , ci și părțile sale sunt accesibile auzului uman.

Efectuarea regulată a temperamentului egal , de exemplu, necesită abilitatea de a auzi 1/12 dintr-o virgulă pitagoreică. Cu un astfel de interval fiecare cincime perfect naturală (3:2) [6] trebuie redusă pentru ca ajustarea menționată să se termine cu succes. Această metodă de efectuare a temperamentului [7] a fost stabilită ca urmare a dezvoltării istorice a așa-numitelor „temperamente bune” propuse pe vremea lui J.S. Bach.

virgula pitagoreică

Douăsprezece cincimi ar trebui să adună până la șapte octave . Cu toate acestea, în acordul pitagoreic (în care raportul dintre frecvențele tonurilor care formează o cincime este de 3:2) există o diferență numită pitagora sau virgulă pitagoreică , egală cu aproximativ un sfert de semiton :

{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{{12}}}{2^{7}}}={\frac {3^{{12}}}{2 ^{{19))))={\frac {531441}{524288}}\aproximativ 23{,}46\;{\mathrm {Cent}}

[opt]

Virgulă sintonică

Se mai numește și virgula lui Didim, după numele lui Didymus Muzicianul , un om de știință din secolul I î.Hr. e., care l-a descris pentru prima dată pe al treilea 5:4 în tetracordul genului diatonic (învățătura muzical-teoretică a lui Didyma nu a fost păstrată; este cunoscută în prezentarea lui Ptolemeu și Porfirie ). Sintagma „virgula lui Didim” a apărut, aparent, în New Age . În tratatele antice de muzică (greacă și latină) nu există termenul „Didyme virgulă”.

Dacă adunați patru cincimi perfecte (3:2) și scădeți două octave (2:1), obțineți o terță majoră pitagoreică (diton) :

{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}}{2^{2}}}={\frac {3^{4}}{2^ {6}}}={\frac {81}{64}}\aproximativ 407{,}82\;\mathrm {Cent}

Detonul este mai mare decât treimea majoră naturală [9] (81:64 > 5:4) de către o comună sintonică (sau didimă):

{\frac {81}{64}}:{\frac {5}{4}}={\frac {81}{64}}*{\frac {64}{80}}={\frac {81} {80}}\aprox 21{,}51\;{\mathrm {Cent}}

virgulă artificială

Despre virgula artificială se cunosc următoarele [ 10] :

Nikolai Mercator , o persoană modestă și un om de știință și matematician inteligent <...> a scos la iveală o invenție genială de a găsi și aplica cea mai mică măsură comună a tuturor intervalelor armonice, nu strict ideală, dar foarte apropiată de aceasta . Presupunând că virgula este 1/53 parte dintr-o octavă <...> acest 1/53 el numește virgulă artificială , care nu este exactă, dar diferă de virgula naturală adevărată cu aproximativ 1/20 din virgulă.

Text original (engleză)[ arataascunde] Nicholas Mercator o persoană modestă și un matematician învățat și judicios <...> a dedus o invenție ingenioasă de a găsi și a aplica o măsură cea mai puțin comună tuturor intervalelor armonice, nu tocmai perfecte, dar foarte apropiate de aceasta . Presupunând că o virgulă la 1/53 parte din diapason <...> pe care 1/53 o numește virgulă artificială nu este exactă, dar diferă de virgula naturală adevărată aproximativ 1/20 parte dintr-o virgulă — Golder (citat din cartea lui G. Riemann) [11]

În teoria muzicală, virgula artificială este numită și virgula Golder [12] [13] , uneori virgula arabă [14] ; acest micro-interval este între orice pereche de tonuri adiacente în sistemul de 53 de diviziuni egale ale octavei (1200 de cenți) și valoarea sa este ușor de calculat:

{\frac {1200}{53}}\approx 22{,}6415\;{\mathrm {Cent}}

Virgula artificială este la fel de potrivită și convenabilă pentru utilizare în locul virgulelor pitagorice și didimice. Permite să nu se facă distincția între virgulele Didyme și pitagoreene într-o notație muzicală rafinată. Un singur set universal de accidentale pentru a indica diferența comatică [15] este necesar și suficient. Nu este necesar să se respecte distincțiile de mai sus pentru construcția instrumentelor muzicale.

Pe lângă faptul că a subliniat mesajul lui Golder despre contribuția semnificativă la teoria muzicii a modestului Nikolai Mercator, teoreticianul muzical recunoscut de la începutul secolelor XIX și XX, Hugo Riemann , a publicat și următoarea declarație:

matematicienii au dovedit irefutabil că, pentru utilizarea liberă a tuturor tastelor, doar un sistem de 53 de pași într-o octavă este mai bun decât un sistem folosit în mod obișnuit de 12 temperamente egale.

— G. Riemann [16]

Virgulele Mercator

S-a remarcat mai sus că virgula lui Mercator este mult mai mică decât cele mai faimoase virgule, deoarece este diferența dintre lanțurile de 53 de cincimi naturale și octava naturală a 31-a cu o valoare de:

{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{{53}}}{2^{{{31}}}}={\frac {3^{{53}}} {2^{{84))))={\frac {19383245667680019896796723}{19342813113834066795298816))\aproximativ 3{,}6150\;{\mathrm {Cent))

Îngustând fiecare cincime naturală cu o cantitate nesemnificativă de 1/53 virgule Mercator, se obține așa-numitul ciclu Mercator, care închide lanțul de 53 de astfel de cincimi, ceea ce duce la împărțirea octavei în 53 de virgule artificiale. Ca și distrugerea virgulei pitagoreice în ciclul de 12 cincimi temperate egale, ciclul Mercator distruge virgula lui Pitagora, dar virgula pitagoreică nu este distrusă, ci înlocuită cu una artificială aproape identică.

Virgulă și muzică

Virgula nu formează un pas separat în modurile modale tradiționale din Europa de Vest și în tonul major -minor (și, prin urmare, nu este dotată cu o funcție modală specială ), ci este folosită de muzicieni ( vocaliști și interpreți la instrumente cu non- scale fixe, cum ar fi vioara ) pentru a da spectacolului mai multă expresivitate.

Spre deosebire de opinia predominantă cu privire la posibilitatea de a exclude virgula dintr-un număr de intervale necesare pentru realizarea de muzică cu drepturi depline [17] , există fapte în favoarea altor opinii:

<...> cuvântul „virgulă” poate fi înțeles ca orice interval care nu există ca obiect fizic, ci în schimb, ca obiect mental, respinge două tonuri instabile unul de celălalt și le face să graviteze spre tonuri stabile<. ..> Cred că virgula ca mentală obiectul a existat în diverse sisteme de înălțime - de la cele mai primitive până la cele pe care le folosim astăzi. De exemplu, în cheia noastră „C” virgula există ca obiect psihic pe fiecare tastă neagră. Cu toate acestea, chiar și temperamentul poate nu numai să elimine virgula, ci și să o emancipeze, adică. transformă-l dintr-un obiect mental într-unul fizic. Temperamentul de 12 tonuri a eliminat virgula. În același timp, intervalele de gravitație (m.2) și de repulsie (sw.1) s-au dovedit a fi egale între ele. Temperamentul, emancipând virgula, va duce la faptul că intervalele de atracție și repulsie vor fi inegale între ele. Posibilele tipuri de temperamente care emancipează virgula sunt temperamentele la care intervalul de atracție va fi raportat la intervalul de repulsie ca 1/2, 2/3, 3/4 etc. Raportul optim este de 2/3. În acest caz, virgula va constitui jumătate din intervalul gravitațional, condiție necesară și suficientă pentru emanciparea virgulei ca interval mai mic decât cele existente. Această emancipare a „virgulei cheie neagră” dă sistemul cu 29 de tonuri. Acestea. Temperamentul de 29 de tonuri nu anulează sistemele anterioare, ci este atât un microcosmos, cât și un macrocosmos al sistemului de înălțime muzicală.

— V. B. Brainin [18]

Adunarea sau scăderea unei virgule informează ... ambele sunete ale oricărui interval cu o direcție dinamică complet diferită ... În temperament, adunările de virgule sunt tăiate (în loc de un semiton diatonic cu virgulă, se adaugă un semiton temperat amorf. ) ... Logica gândirii muzicale este controlată de relația și interacțiunea sunetelor în interiorul sistemului în forma sa nemodificată (pentru noi - detemperat).

— A. S. Ogolevets [19]

Dacă luăm ca interval cel mai mic valoarea virgulei pitagoreice (24 de cenți) ca un interval care se poate distinge liber de auzul nostru, (Al-Farabi a mai susținut că acest interval ar trebui considerat unul dintre cele mai importante în teoria și practica muzicală, și în limitele intervalului de octave, nume tipic, cele mai stabile intervale, este posibil să se determine aproape 30 de trepte care sunt utilizate conștient și creativ în structurile melodice ale practicii muzicale ale multor popoare din Orient.

— G. A. Kogut [20]

Explorarea persanei. Vostu, Khorasan tanbur, F[arabi] au calculat tonul pitagoreic mare întreg (vezi sistemul pitagoreic), care se împarte în 3 microintervale (două lime și o virgulă). Întregul ton a stat la baza scării în 17 trepte dezvoltată în Evul Mediu. teoreticienii estici.

— O. V. Rusanova [21]

În Azerbaidjan, virgulele sunt folosite destul de conștient în muzica tradițională, împreună cu căutarea unor sisteme adecvate de notație a acestora [22] .

Notația muzicală modernă în Turcia indică în mod direct utilizarea virgulei în muzica turcă. În măsurile 3..11 din exemplul muzical propus, se cere să se cânte nota si-bekar (numele turcesc bûselik), dar în primele două măsuri este prescris să se cânte nota si-on-commu-below (segâh). ). Numele independente a două note la distanță de virgulă mărturisesc existența unui grad comatic în scara turcă.

Una dintre caracteristicile lui Nar. melodii - variabilitatea lor modală (abateri constante pe termen scurt de la un mod la altul). „Înflorirea” specială a melosului se explică și prin creșterea și scăderea diatonicului. pași pe comunicație; în t[urkish] m[usic] <...> există un sistem modal special (teoreticienii turci cred că acestui sistem corespunde unei scale cu 24 de trepte într-o octavă). Multe moduri turcești sunt asemănătoare cu cele europene, dar în teoria turcă au denumiri speciale: de exemplu, majorul natural cu pașii de susținere I și V și treapta VI coborâtă la comm se numește mahkhur, cu aceleași trepte de bază și a treia treaptă coborâtă la com - rast

— Enciclopedie muzicală [23]

O altă dovadă incontestabilă sunt accidentalele speciale care prescriu creșteri/căderi commatice de note.

În Turcia s-a răspândit utilizarea unui sistem de 53 de comunicații artificiale într-o octavă , ca referință pentru o teorie compatibilă cu practica muzicii [24] .

În India, conform unei definiții străvechi, așa-numitele shruti sunt percepute ca intervale de înălțime [25] . Sunt cunoscute trei soiuri: pramana, nyuna și purana shruti [26] . Soiurile pot fi comparate cu valori numerice: pramana shruti (70 de cenți), nyuna shruti (22 de cenți) și purana shruti (90 de cenți) [27] , care sunt obținute cu o bună aproximare din comunicațiile artificiale ale sistemului 53RDO [28] . Aceasta înseamnă că intervalele comparabile cu virgulă sunt cunoscute în muzica clasică indiană încă din cele mai vechi timpuri: au propriile nume și sunt solicitate împreună cu toate celelalte intervale.

În muzica occidentală, efortul constant de a folosi virgula poate fi confirmat de câteva sute de ani din istoria apariției numeroaselor proiecte și chiar au făcut instrumente cu claviatura de o scară fixă de temperament neobișnuit (sau fără ea deloc), în care pași la sunt prevăzute în mod special o distanță de virgulă, oferind o oportunitate de cercetare practică a proprietăților lor funcționale [29 ] .

Virgula lui Didim joacă același rol important în ultima știință muzicală ca și cea a lui Pitagora în calculele temperamentului egal, mai ales în lucrările dedicate dirijării, spre deosebire de toate temperamentele, acordului pur (Hauptmann, Helmholtz, von Oettingen, Engel, Tanaka etc.) .)

— G. Riemann [30]

Unul dintre cei care au arătat acest lucru în practică a fost compozitorul iugoslav I. Slavensky. Prima parte a compoziției sale „Muzică pentru sistemul de tonuri ale naturii” a fost scrisă pentru armoniul enarmonic (enharmonium) Bozanqueta [31] , primul instrument muzical din lume cu octave din lanțuri de 53 de virgule artificiale .

Cântarea la astfel de instrumente este de neconceput fără notația comatică, dezvoltată mai întâi de Bosanquet. Slavensky a conturat-o în preambulul partiturii și a aplicat-o explicit în prima mișcare.

Instrumentul acustic Bosanquet , construit în 1871-72, a fost urmat de armonii artificiale ale maestrului american J.P. White, susținând împărțirea octavelor în 53 de sisteme. Unul dintre cele trei instrumente acustice pe care le-a construit are o plăcuță de identificare:

Harmon nr.3, Jas. Paul White, inventator și producător, 1883

Text original (engleză)[ arataascunde] Harmon nr.3, Jas. Paul White, Inventor și Creator, 1883

Se păstrează la Conservatorul din Boston, SUA [32] . Designul tastaturii și aranjamentul armoniilor lui White diferă în multe privințe de prototipul Bosanquet. Totuși, se respectă principiul implementat de Bosanquet de păstrare a aceleiași digitații în interpretările aceleiași piese din note diferite.

La fel ca unicul enharmonium Bosanquet și armoniile originale ale lui White, instrumentele acustice cu seturi complete de comunicații artificiale au fost fabricate și în Germania (1914) conform dezvoltărilor lui Oettingen menționate de Riemann. Designul tastaturii lor pretinde a fi o versiune avansată din punct de vedere ergonomic a soluției Bosanquet. Este semnificativ faptul că au fost numite orfotonofonii, adică suna în tonuri corecte [33] . Acest lucru subliniază faptul că urechea percepe muzica redată în sistemul 53 de muzică artificială comună ca sună corect. Pe fotografie se vede unul dintre ortofononiile păstrate la Berlin. Se pot auzi și câteva acorduri adevărate ale acestei instanțe [34] . Un alt orfotonofoniu se păstrează la Leipzig [35] .

Fapte interesante

În 1990, pentru virgulă, care este diferența dintre 665 de cincimi și 389 (eroare în sursă: 359) octave, a fost propusă denumirea de satanic [36] . Valoarea sa este mai mică de 1/10 de cent (mai precis, 0,076 de cenți), iar numele parodiază numele virgulei sintonice . Semnificația numelui reflectă, de asemenea, faptul că în lanțul de cincimi pure, veriga 666 se dovedește a fi un fals indistinguibil al versiunii adevărate în octava a verigii inițiale a acestui lanț. Astfel, a cincea 666 creează o închidere satanic falsă a spiralei a cincea. O altă persoană, independent și mult mai târziu [37] , a remarcat că prima închidere falsă a acestei spirale (cu o diferență de virgulă pitagoreică) creează a 12-a cincime13, a cărei legătură în spirală se dovedește a fi așa-numita duzina diavolului , iar ultimul semnificativ este un număr satanic .
Uneori virgula lui Mercator este numită virgulă artificială , deși numele artificial i-a fost dat de Mercator însuși.

Note

↑ Marea Enciclopedie Rusă , v.14. M., 2009, p. 645.
↑ Dillon și Musenich 2009, p. 49: „ C53 = 1,002090314. C 53 este cunoscut și sub numele de virgula lui Mercator
↑ Dicționar de muzică 2008, virgulă: „acesta este numele dat diferenței dintre valorile matematice a două tonuri aproximativ egale în înălțime”
↑ Pentru un acord pur , de exemplu, diferența dintre șase treimi mici și o duodecimă pură , așa-numita kleisma ( en: Kleisma ), este de aproximativ 8,1 cenți și nu este distrusă în sistemul obișnuit 12RDO , ci degenerează acolo într-un semiton (100 de cenți)
↑ Riemann 1898, p. 99: „Conform studiilor lui W. Preyer (Ueber die Grenzen der Tonwahrnehmung, 1876), muzicienii experimentați pot încă distinge o diferență de înălțime de 1/2 vibrație într-o octavă de două linii; pentru g" cu 792 de vibrații, aceasta ar da o valoare logaritmică (bazată pe 2) 0,00090, adică abia 2/3 din schismă "
↑ Intervalul unei cvinte naturale pure este egal cu intervalul scalei naturale dintre a 3-a și a 2-a armătură.
↑ Fadeev, Allon 1973, p. 255-8
↑ Dacă se cunoaște raportul frecvențelor a două sunete ( a ) și ( b ), atunci numărul de cenți ( n ) din intervalul dintre ele: $n=1200\log _{2}\left({\frac {a}{b}}\right)\aproximativ 3986\log _{{10}}\left({\frac {a}{b}}\ dreapta)$
↑ Intervalul treimei majore naturale este egal cu intervalul scalei naturale dintre tonurile a 5-a și a 4-a.
↑ Barbieri 2008, p. 611 Arhivat la 21 martie 2013 pe Wayback Machine : „virgulă, definiția: „artificial” (ETS 53), 350 ( virgulă în engleză , definiția: „artificial” (ETS 53), 350 )”
↑ Riemann 1898, p. 67
↑ The Ratio book: a documentation of The Ratio Symposium, Conservatorul Regal, Haga, 14-16 decembrie 1992 .
↑ „Lux oriente”: Begegnungen der Kulturen in der Musikforschung : Festschrift Robert Günther zum 65. Geburtstag. Kassel : G. Bosse Verlag, 1995. (= Kölner Beiträge zur Musikforschung, Bd. 188).
↑ Touma HH Muzica arabilor, p.23. trans. Laurie Schwartz, Portland, Oregon: Amadeus Press, 1996. ISBN 0-931340-88-8 .
↑ Kholopov 2003, p. 141: „auzim o diferență comatică”
↑ Riemann 1898, p. 63
↑ Kholopov 2003, p. 141: „Vigula nu poate fi percepută ca un interval propriu-zis (pas)”
↑ V. B. Brainin . O scrisoare către un vecin învăţat despre unele posibilităţi de compoziţie microcromatică în legătură cu presupusele perspective de evoluţie a limbajului muzical. // Academia de Muzică, 1997, Nr. 3, C. 145 . Preluat la 2 mai 2020. Arhivat din original la 25 octombrie 2020. (nedefinit)
↑ Ogolevets 1941, p. 61-62.
↑ Kogut 2005, p. 27
↑ Music Encyclopedia 2008-11, Farabi
↑ Alieva 2011, p. ?
↑ Music Encyclopedia 2008-11, Muzica turcească
↑ Yarman 2007, p. 58: „Datorită apropierii excelente a oricărui model de 24 de tonuri față de tonurile corespunzătoare ale unei octave atunci când este împărțită în 53 de părți egale, metodologia „9 comunicații pe întreg ton; 53 de comunicații pe octava” este unanim acceptată în maqam-ul turc. lexic muzical și predare ( ing. Datorită apropierii excelente a fiecăreia dintre modelele de 24 de tonuri de tonurile aferente de 53 de diviziuni egale ale octavei, metodologia „9 virgule pe ton întreg; 53 virgule pe octava” este unanim acceptată în turcă limbajul și educația muzicii makam )”
↑ Sarangadeva , Sangeet Ratnakar cu comentariile lui Kalinath, ediția Anandasram, 1897.
↑ Lentz 1961, p. ?
↑ Datta, Sengupta, Dey și Nag 2006, p. 28: „Tabelul 2.4 oferă distribuția lungimilor shrutis-urilor prezise. Cel mai mic shruti este de aproximativ 14 cenți, iar cel mai mare 85 de cenți. Aceste valori pot fi comparate cu dimensiunea pramana shruti (70 de cenți), nyuna shruti (22 de cenți) și purana shruti (90 de cenți), așa cum sunt date în literaturile occidentale ( Tabelul englez 2.4 oferă o distribuție a lungimii prezise ). shrutis Cel mai mic shruti este de aproximativ 14 cenți, iar cel mai mare este de 85 cenți. Aceste valori pot fi comparate cu măsura pramana shruti (70 cenți), nyuna shruti (22 cenți) și purana shruti (90 cenți) așa cum este dat în vest. literaturi )"
↑ Hramov 2011, p. 32: „Sistemul ideal CI nu este închis, dar poate fi bine aproximat într-un sistem închis 53RDO. O caracteristică interesantă a acestui sistem este apropierea celui mai mic microton sau virgulă (22,642 ¢) de cel mai mic microton al scarii indiene, cunoscut sub numele de nyuna shruti (22 ¢). Pramana shruti (70 ¢) și purana shruti (90 ¢) sunt aproape de sumele a trei (67,925 ¢) și respectiv patru (90,566 ¢) komm-uri ale sistemului 53RDO . Sistemul JI ideal este neînchis, dar poate să nu fie rău Ca o caracteristică atractivă a acestui sistem apare în apropierea microtonului său minim, sau virgulă (22,642¢) față de dimensiunea microtonului minim al unei scale indiene, care este cunoscut sub numele de nyuna shruti (22¢). 90 ¢) sunt în consecință apropiate de sumele de trei (67,925 ¢) și patru (90,566 ¢) virgule ale sistemului 53EDO )"
↑ Barbieri 2008, 620 p.
↑ Riemann 1898, p. 13
↑ R.H.M. Bosanquet Enharmonic Harmonium Arhivat 12 februarie 2021 la Wayback Machine // Science Museum London.
↑ Barbieri 2008, p. 100-2
↑ Goldbach 2007, 29 p.
↑ Orphotonophonium de A. von Oettingen Arhivat 12 decembrie 2016 la Wayback Machine // Muzeul Instrumentelor Muzicale din Berlin
↑ Orphotonophonium de A. von Oettingen Arhivat 3 martie 2016 la Wayback Machine // Muzeul Instrumentelor Muzicale al Universității din Leipzig
↑ Jones 1990, după cum a raportat Monzo 2005: <<... Satanic comm. Diferența dintre 665 de cincimi și 359 de octave este mai mică de 1/10 de cent, aproximativ 1/15878 de octava <...> [numele] a fost inventat în 1990 ca o parodie a numelui virgulei sintonice ( ing . Virgula satanica Diferența dintre 665 de cincimi și 359 de octave, mai puțin de 1/10 de cent, în jur de 1/15878 de octava <...> inventată în 1990, ca o parodie a denumirii virgulei sintonice ) .. .> >
↑ Vol 2005: comentând această lucrare a sa tocmai scrisă într-o conversație privată, G. Vol a observat că primele și ultimele închideri ale unei spirale a cincea teoretic infinite, care sunt imaginabile pentru întruchiparea sa fizică sub forma unor instrumente cu claviatura cu degetul potrivite pentru mâini umane, duc la numerele 12 și 665, învecinate cu cei răi 13 și, respectiv, 666.

Link -uri

Goldbach KT Arthur von Oettingen und sein Orthotonophonium im Kontext // Tartu ülikooli muusikadirektor 200, hrsg. v. Geiu Rohtla, Tartu 2007.— p. 29.
Datta AK, Sengupta R., Dey N., Nag D. Experimental Analysis of Shrutis from Performances in Hindustani Music (engleză) . - Kolkata, India: SRD ITC SRA, 2006. - P. 103. - ISBN 81-903818-0-6 .
Dillon, George; Musenich R. Virgula Huygens: Some Mathematics Concerning The 31-Cycle // Treizeci și unu. Jurnalul Fundației Huygens-Fokker : jurnal / Gilmore, Bob. - Amsterdam: Centrul Stichting Huygens-Fokker pentru Muzică Microtonală, 2009. - Vol. 1 . - P. 49-56 .
Khramov, M. On Amount of Notes in Octave // Ninãd, Journal of the ITC-SRA / Datta AK, Sengupta R.. - Kolkata, India: ITC Sangeet Research Academy. Dept. de Cercetare Academică, 2011. - Decembrie ( vol. 25 ). - S. 31-37 . — ISSN 0973-3787 . Arhivat din original pe 18 octombrie 2012. Arhivat pe 18 octombrie 2012 la Wayback Machine
Lentz DA Tons and Intervals of Hindu Classical Music // Studii ale Universității din Nebraska, Noua serie Nr.24, Universitatea din Lincoln, 1961.
Monzo, J. Acordarea termenilor de Marc Jones . Tonalsoft Encyclopedia of Microtonal Music Theory (2005). Consultat la 22 octombrie 2012. Arhivat din original pe 23 octombrie 2012. (nedefinit)
Yarman, Ozan. O evaluare comparativă a notațiilor de înălțime în muzica Makam turcă: scară Abjad și acordarea pitagoreică în 24 de tonuri - 53 Diviziune egală a octavei ca grilă comună // Jurnal de studii muzicale interdisciplinare : jurnal / ?. -?, 2007. - Toamna ( vol. 1 , nr. 2 ). - P. 43-61 . — ISSN ? . Arhivat din original pe 18 mai 2013.
Aliyeva, I. Notarea microtonală prin clarificări numerice ale semnelor accidentale (pe exemplul scării de gudron) // Musiqi Dünyası, publisistik musiki jurnali: journal / Mamedov T. A .. - 2011. - V. 47 . — S.? . — ISSN 2219-8482 . (Rusă)
Barbieri P. Instrumente enarmonice și muzică, 1470-1900 . - Latina: Il Levante libreria editrice, 2008. - 620 pagini. ISBN 978-88-95203-14-0
Vol, Gennady Algebra funcțiilor tonale (2005). Preluat la 23 octombrie 2012. Arhivat din original la 4 noiembrie 2012. (nedefinit)
Kogut G. A. Muzică microtonală . - Kiev: Naukova Dumka, 2005 (în rusă). — 264 pagini. ISBN 966-00-0604-7
Enciclopedie muzicală. Sursa: Music Encyclopedia in 6 vol., 1973-82 Turkish Music . www.music-dic.ru (2008-11). Preluat: 24 octombrie 2012. (nedefinit)
Enciclopedie muzicală. Sursa: Enciclopedia muzicală în 6 vol., 1973-82 Farabi . www.music-dic.ru (2008-11). Preluat: 24 octombrie 2012. (nedefinit)
Dicționar muzical. Pe baza publicaţiei: Riemann G. Dicţionar muzical [Trad. cu el. B. P. Yurgenson, add. Rusă departament], 1901 Virgulă (link inaccesibil - istoric ) . „DirectMedia Publishing” (2008). Preluat: 23 octombrie 2012. (nedefinit)
Ogolevets A. S. Fundamentele limbajului armonic. M. - L., 1941. - ? pagina .
Riemann, G. Acustica dintr-o perspectivă a științei muzicale . — Traducere din germană de N. Kashkin. - Moscova: Tipo-lit. K. Alexandrova, 1898. - S. 1 - 83. (Rusă)
Riemann, G. Acustica dintr-o perspectivă a științei muzicale . — Traducere din germană de N. Kashkin. - Moscova: Tipo-lit. K. Alexandrova, 1898. - S. 84 - 147. (Rusă)
Fadeev I. G., Allon S. M. Repararea și acordarea pianelor și pianelor cu cotă.- M .: Industria ușoară, 1973. - 304 pagini.
Kholopov Yu. N. Harmony: Curs teoretic: Manual . - Sankt Petersburg, Moscova, Krasnodar: Editura Lan, 2003. - P. 541. - ISBN 5-8114-0516-2 .

Literatură

Zubov A. Yu. Komma // Marea Enciclopedie Rusă. T. 14. Moscova, 2009, p. 645.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Brockhaus și Efron Micul Brockhaus și Efron Muzical Riemann Britannica (online) Dicționar de muzică și muzicieni

Intervalele muzicale
Simplu	Prima Al doilea Al treilea Quart Quint Şaselea Al șaptelea Octavă
Compozit	Nona Decima Undecima duodecim Terzdecima Quartdecima Quintdecima
Microintervale	Schismă Diaschism Virgulă Diez Cent Milioctave
Special	Ton întreg Semiton Limma Apotom Deaton Jumătate Diton Triton Wolf Quint