Câmp scalar

Un câmp scalar (funcție scalară) pe un spațiu finit-dimensional este o funcție care asociază fiecare punct dintr-o regiune a acestui spațiu (domeniu) cu un scalar , adică un număr real sau complex . Cu o bază spațială fixă , un câmp scalar poate fi reprezentat în funcție de mai multe variabile care sunt coordonatele unui punct. $V$

Diferența dintre o funcție numerică a mai multor variabile și un câmp scalar este că, într-o bază diferită, câmpul scalar în funcție de coordonate se modifică astfel încât dacă noul set de argumente reprezintă același punct în spațiu în noua bază, atunci valoarea funcției scalare nu se modifică.

De exemplu, dacă într-o bază ortonormală a unui spațiu vectorial bidimensional o funcție scalară are forma, atunci într-o altă bază rotită cu 45 de grade la aceasta, aceeași funcție în coordonate noi va avea forma . $f(v)=x^{2}+2y^{2},$ $f(v)=3x'^{2}+3y'^{2}-2x'y'$

Cel mai adesea, funcțiile scalare sunt considerate continue sau diferențiabile (netede) de un număr suficient de ori (adică funcția trebuie să aparțină lui ). $\mathbb {C} ^{m)$

Aplicațiile includ în principal:

Funcția a trei variabile: (câmp scalar pe (în) spațiu tridimensional, numit uneori [1] câmp spațial). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$
Funcția a două variabile: (un câmp scalar pe (în) spațiu bidimensional, numit uneori [1] un câmp plat). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y)$

Exemple

Exemple de câmpuri scalare în spațiul 3D:

temperatura (se înțelege că, în general, este diferită în diferite puncte ale spațiului);
potenţial electrostatic ;
potențial în teoria Newtoniană a gravitației ;
câmp de presiune într-un mediu lichid.

Exemple de câmpuri scalare plate (bidimensionale):

adâncimea mării, marcată într-un fel pe o hartă plată;
densitatea de sarcină pe o suprafață plată a conductorului.

De obicei, un câmp scalar este înțeles ca un câmp care este invariant în cadrul transformărilor de coordonate (uneori și adesea - sub o anumită clasă de transformări de coordonate, de exemplu, sub transformări care păstrează volumul, transformări ortogonale etc.; dar nu mai puțin rar este însemna invarianța unui câmp scalar sub transformări arbitrare de coordonate, limitate, poate, doar de netezime). (Vezi scalar ).

În acest sens, nu orice funcție de coordonate cu valori reale este un câmp scalar. Cel mai simplu exemplu: în acest sens, una dintre componentele de coordonate ale câmpului vectorial nu este un câmp scalar , deoarece la schimbarea alegerii coordonatelor (de exemplu, la rotirea axelor de coordonate), aceasta nu va rămâne neschimbată (adică, nu este un invariant al transformărilor de coordonate).

Câmpuri scalare în fizică

În fizică și în multe alte aplicații, domeniul, în general vorbind, depinde și de timp [2] :

u=u(x,y,z,t)

în timp ce operațiunile pe câmp (cum ar fi gradient ) sunt încă folosite tridimensional, adică în ciuda adăugării unei variabile independente, în esență, câmpul este considerat ca un câmp într-un spațiu cu dimensiunea 3, și nu 4. Aceleași considerații privesc cazurile în care câmpul depinde, pe lângă coordonatele spațiale, de alți parametri: acești parametri pot fi indicați în mod explicit în dependența funcțională, care însă nu modifică dimensiunea spațiului principal în care este considerat câmpul. .

În fizica teoretică modernă, se obișnuiește să se considere în mod explicit timpul ca o coordonată formal egală cu trei spațiale [3] , iar totalitatea spațiului și timpului este considerată explicit ca un singur spațiu cu patru dimensiuni (numit spațiu-timp ). Astfel, vorbind despre un câmp scalar în fizica teoretică modernă, în mod implicit ele înseamnă un câmp pe un spațiu sau o varietate cu patru dimensiuni , adică o funcție dependentă de patru coordonate formal egale:

u=u(x_{i})=u(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})

(una dintre aceste patru coordonate este egală sau proporțională cu timpul); mai mult, în acest caz, dacă se folosește termenul câmp scalar , se subînțelege și că acesta este invariant Lorentz . Toate operațiunile de câmp (cum ar fi gradient) sunt utilizate în forma lor 4D. $x_{i}$ $u$

În fizica teoretică modernă , un câmp scalar este de obicei înțeles (când vine vorba de câmpuri fundamentale) ca un câmp fundamental al unui scalar spațial Minkowski ( un câmp invariant de Lorentz ) sau un câmp care este invariant în cadrul transformărilor de coordonate generale (de obicei primul și a doua practic coincide).

Sinonime practice pentru termenul câmp scalar în acest sens sunt termenii câmp spin zero , spin zero particulă , particulă scalară (acestea din urmă, diluând totuși oarecum aceste concepte apropiate, sunt numite și excitații ale unui câmp scalar).

Singura particulă scalară descoperită experimental este bosonul Higgs .

Câmpurile scalare joacă un rol important în construcțiile teoretice. Prezența lor (împreună cu câmpurile vectoriale și tensorale înțelese în același sens și observate în realitate) este necesară pentru completitudinea clasificării câmpurilor fundamentale.

În noile teorii fizice (cum ar fi, de exemplu, teoria corzilor ) se ocupă adesea de spații și varietăți de dimensiuni diferite, inclusiv destul de înalte (mai mult de patru), și câmpuri, inclusiv câmpuri scalare, pe astfel de spații.

Suprafață de nivel

Un câmp scalar poate fi reprezentat grafic folosind suprafețe de nivel (numite și izosuprafețe).

Suprafața de nivel a unui câmp scalar este mulțimea de puncte din spațiu la care funcția u ia aceeași valoare c , adică suprafața de nivel este determinată de ecuația . Imaginea unui set de suprafețe de nivel pentru diferite oferă o reprezentare vizuală a câmpului scalar specific pentru care sunt construite (reprezentate) [4] , în plus, reprezentarea suprafețelor de nivel oferă un anumit instrument geometric suplimentar pentru lucrul cu un câmp scalar care poate fi folosit pentru calcule, demonstrații teoreme etc. Exemplu: suprafață echipotențială . $u=u(x,y,z)$ $u(x,y,z)=c$ $c$

Pentru un câmp pe un spațiu bidimensional, analogul suprafeței de nivel este linia de nivel . Exemple: izobată , izotermă , izohipză (linie de înălțimi egale) pe o hartă geografică și alte izolinii .

Suprafețele de nivel pentru un câmp scalar pe un spațiu de dimensiune mai mare sunt hipersuprafețe cu o dimensiune mai mică decât cea a spațiului.

Gradient

Direcția creșterii celei mai rapide a câmpului este indicată de vectorul gradient , notat în modul standard: $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$

{\mathbf {grad}}\ u

sau alta notatie:

\nabla u

cu componente:

\left({\frac {\partial u}{\partial x)),\ {\frac {\partial u}{\partial y)),\ {\frac {\partial u}{\partial z))\ dreapta)

Iată o formulă pentru cazul tridimensional, poate fi generalizată la alte dimensiuni direct și trivial.

Dacă coordonatele nu sunt carteziene (baza nu este ortonormală), este esențial să rețineți că componentele gradientului de mai sus sunt covariante, adică gradientul unui câmp scalar este un câmp covector. Pentru bazele ortonome, acest lucru nu este esențial, deoarece pentru ele conceptele de vector și covector pot fi considerate la fel, precum și coordonatele covariante și contravariante.

Valoarea absolută a vectorului gradient u este derivata lui u în direcția de creștere cea mai rapidă (rata de creștere a lui u când se deplasează cu viteza unitară în această direcție).

Gradientul este întotdeauna perpendicular pe suprafețele de nivel (în cazul 2D, pe liniile de nivel). Excepție fac punctele singulare ale câmpului, unde gradientul este egal cu zero.

Note

↑ 1 2 Flatfield - Dicţionar meteorologic . Data accesului: 17 mai 2012. Arhivat din original pe 15 februarie 2014. (nedefinit)
↑ Pentru a evita confuzia în această secțiune, vom vorbi doar despre câmpul spațiului tridimensional.
↑ Există motive destul de serioase pentru aceasta, care se rezumă la faptul că în fizică nu se pot face doar transformări formale (așa-numitele transformări Lorentz , care pot fi caracterizate ca rotații spațiu-timp), amestecând coordonatele spațiale cu timp, dar se dovedește că niciun experiment și observație fizică, din câte știm astăzi, nu poate dezvălui diferențele dintre ecuațiile fizicii scrise în unul sau altul dintre cele două sisteme de coordonate spațiu-timp rotite atât de mult unul față de celălalt.
↑ „Imaginea” unor astfel de suprafețe, desigur, este în general tridimensională (suprafețele în sine sunt bidimensionale, dar în general nu sunt plate și sunt situate în spațiu tridimensional), dar poate fi, în cazuri simple, uşor de imaginat[ ce? ] , precum și să construiți cumva una sau mai multe proiecții 2D sau secțiuni ale unei astfel de imagini 3D.

Literatură

Borisenko AI, Tarapov IE Analiza vectorială și principiile calculului tensor. (link indisponibil) ed. a 3-a. Moscova: Școala superioară, 1966.
Goldfain IA Analiză vectorială și teoria câmpului. Moscova: Nauka, 1968.
Kochin N. E. Calcul vectorial și începuturile calculului tensor. a 9-a ed. Moscova: Nauka, 1965.

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Rusă mare
În cataloagele bibliografice	GND : 4181618-3 J9U : 987007558470805171