Pătratul Codecartes

Pătratul Codecartes (și pătratul universal ) este un concept teoretic de categorie dual cu conceptul de pătrat cartezian . Pătratul codecartes este un caz special al colimitului .

Proprietate generică

Fie f  : Z → X , g  : Z → Y  morfisme din categoria C . Pătratul Codecartes pentru o pereche de morfisme ( f , g )  este un pătrat comutativ de următoarea formă:

Mai mult, pătratul codecart este universal printre obiectele cu această proprietate. Și anume, pentru orice obiect Q cu morfisme j 1 , j 2 care completează f , g la un pătrat comutativ, există un morfism unic u  : P → Q care face următoarea diagramă comutativă:

Un obiect cu morfisme i 1 , i 2 se numește coprodus fibros ( foliated sum , amalgam , amalgamated sum , pushout engleză ).  

Ca orice construcție universală, un pătrat Codecartes nu există neapărat, dar dacă există, este definit până la izomorfism.

Exemple

• În categoria mulţimilor  , aceasta este uniunea disjunsă a lui X şi Y , în care sunt identificate elemente cu o preimagine comună în Z . Mai precis, unde ~  este cea mai mică relație de echivalență astfel încât i 1 ∘ f ( z ) ~ i 2 ∘ g ( z ) .

• Construcția de lipire spațială este un exemplu de construcție a coproduselor fibroase din categoria spațiilor topologice . Mai detaliat, dacă Z  este un subspațiu al lui Y și g  : Z → Y  este maparea de incluziune corespunzătoare , atunci se poate „lipi” Y de la X la Z folosind „match-ul de potrivire” f  : Z → X . Spațiul lipit rezultat este coprodusul fibros al lui X și Y .

• În categoria grupurilor abeliene , se poate vorbi de un pătrat codecartezian ca de o sumă directă a grupurilor abeliene „cu lipire”. Și anume, dacă f și g  sunt homomorfisme cu o sursă comună Z , atunci un pătrat Codecartes este un grup de factori sumă directă peste subgrupul generat de toate elementele de forma ( f ( z ), − g ( z )) . Aproximativ același lucru se poate face în categoria module .

Literatură

• Goldblatt R. Topoi. Analiza categorica a logicii = Topoi. Analiza categorială a logicii / Per. din engleza. V. N. Grishin și V. V. Shokurov, ed. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 p.
• McLane S. Capitolul 3. Construcții universale și limite // Categorii pentru matematicianul care lucrează = Categorii pentru matematicianul care lucrează / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .