Presheaf (teoria categoriilor)

Un presheaf în teoria categoriilor este o construcție care generalizează conceptul topologic de presheaf .

În mod formal, un presheaf pe o categorie cu valori în categorie este un functor , adică un functor contravariant de la la . Cel mai adesea, sunt luate în considerare presheaves cu valori din categoria seturi . Dacă este un set parțial ordonat de mulțimi deschise ale unui spațiu topologic prin includere, atunci un presheaf categoric definește un presheaf pe un spațiu topologic în sensul folosit în teoria snopilor . $F$ $C$ $V$ $F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V}$ $C$ $V$ $C$

Morfismele dintre presheaves pot fi definite ca transformări naturale ale functorilor. Acest lucru ne permite să luăm în considerare categoria functorilor . Un functor în se numește profunctor . ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$ ${\widehat {C)}$

Un presheaf natural izomorf cu functorul Hom pentru un obiect al categoriei este numit preshheaf reprezentabil . $\mathrm {Hom} (-,A)$ $A$ $C$

Un exemplu utilizat pe scară largă de un presheaf în sensul teoretic al categoriei este un set simplist care este un presheaf pe o categorie simplială cu valori în categoria seturilor. $\Delta$

Proprietăți

Dacă este o categorie mică , atunci categoria de snopi de pe ea este carteziană închisă și chiar un topos . De asemenea, este complet și complet . $C$ ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$
O categorie mică la nivel local admite o încorporare completă și univalentă în categoria snopi pe ea cu valori în — încorporarea Yoneda . ${\mathbf {Set}}$

Literatură

McLane S. Capitolul 3. Construcții universale și limite // Categorii pentru matematicianul care lucrează = Categorii pentru matematicianul care lucrează / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk , „Snopi în geometrie și logică” (1992) Springer-Verlag - ISBN 0-387-97710-4