Un snop este o structură folosită pentru a stabili relații între proprietățile sau caracteristicile locale și globale ale unui obiect matematic. Snopii joacă un rol semnificativ în topologie , geometrie diferențială și geometrie algebrică , dar au și aplicații în teoria numerelor , analiză și teoria categoriilor .
În linii mari, un snop pe un spațiu topologic este dat de date de două tipuri cu două proprietăți suplimentare.
Prima parte a datelor este conținută într-o mapare care mapează fiecare subset deschis al spațiului cu un set (abstract) . În plus, putem cere ca pe acest set să fie dată o anumită structură, dar deocamdată ne vom restrânge la faptul că acesta este doar un set.
A doua parte a datelor este că pentru fiecare pereche de seturi deschise , o anumită mapare este fixă , numită îngustare . (Acţionează în mod similar cu operaţia de restrângere a gamei de funcţii definite pe )
De asemenea, este necesar ca aceste date să aibă următoarele două proprietăți:
Exemplul principal este un snop de funcții continue pe un spațiu topologic X. Restricționarea unei funcții continue la o submulțime deschisă este o funcție continuă pe această submulțime, iar o funcție definită parțial pe submulțimi deschise poate fi restaurată la unirea lor.
Mai precis, pentru fiecare submulțime deschisă a spațiului notăm mulțimea tuturor funcțiilor continue cu valori reale . Având în vedere o mulțime deschisă conținută în și o funcție din , putem restrânge domeniul de aplicare al funcției la o mulțime și obținem o funcție . Constrângerea este o funcție continuă pe ; prin urmare, este un element al mulțimii . Astfel, maparea constrângerilor este definită .
Axioma normalizării este în mod evident satisfăcută, deoarece există o singură funcție continuă din mulțimea goală din R - funcția goală . Pentru a arăta că și axioma de lipire este valabilă, presupunem că ni se oferă un sistem consistent de funcții continue , . Aceasta înseamnă că restricțiile funcțiilor și ale platoului trebuie să coincidă. Să definim acum funcția după cum urmează: deoarece este uniunea tuturor , fiecare punct al este acoperit de o mulțime pentru unele . Să definim valoarea funcției în punctul egal cu . Această definiție este corectă: dacă se află și în , atunci după condiția de consistență , deci nu contează care dintre aceste funcții să folosești pentru a determina . În plus, funcția este continuă în punctul , deoarece în vecinătatea ei coincide cu funcția continuă . Ca urmare, funcția este continuă în fiecare punct de la , adică continuă la . Mai mult, este singura funcție continuă a cărei restricție la domeniu coincide cu , deoarece funcția este complet determinată de valorile sale la puncte. În consecință, există una și o singură funcție lipită de funcții , și anume .
De fapt, pachetul rezultat nu este doar un pachet de seturi. Deoarece funcțiile continue pot fi adăugate punctual pentru a obține din nou funcții continue, acest snop este, de asemenea, un snop de grupuri abeliene . Deoarece ele pot fi și înmulțite, acest snop este un snop de inele comutative . Deoarece funcțiile continue pe o mulțime formează un spațiu vectorial peste R , acest snop este un snop de algebre peste R .
Pentru simplitate, vom lucra cu spațiul R . Să presupunem că pe R este dată o ecuație diferențială și se caută soluții netede, adică funcții netede care satisfac această ecuație. Exemplul anterior a descris cum este construit un snop de funcții continue pe R. O construcție similară literal cu cuvintele „continuu” înlocuite cu cuvintele „netedă” poate fi folosită pentru a construi un snop de funcții netede pe R . Să notăm acest pachet cu . este setul de funcții netede . Unele elemente sunt soluții ale ecuației . Se pare că aceste soluții formează în sine un pachet.
Pentru fiecare set deschis , fie setul de funcții netede astfel încât . Mapările de constrângeri sunt încă restricții de funcție, la fel ca în . totul constă și într-o funcție goală. Pentru a testa axioma de lipire, să fie un set de seturi deschise și să fie uniunea lor. Fie elemente consistente la intersecții, adică . Să-l definim în același mod ca înainte: întotdeauna când este definit. Pentru a vă asigura că este încă o soluție pentru ecuația diferențială, rețineți că o satisface în fiecare dintre mulțimile , deoarece acolo coincide cu funcția . Prin urmare, există o soluție a ecuației . Pentru a verifica ce este unic, rețineți, ca mai înainte, ceea ce este determinat de valorile sale la puncte, iar aceste valori trebuie să se potrivească cu valorile de la . Deci, este singura lipire a funcțiilor , deci există un snop.
Rețineți că este conținut în pentru orice . În plus, dacă este un element al , și este un set deschis conținut în , atunci rezultatul aplicării hărții de restricții la funcțiile din creion va fi același ca și din creion . În astfel de cazuri, se spune că snopul este un subsnop al snopului .
În funcție de ecuația diferențială , se poate întâmpla ca adăugarea a două soluții ale acestei ecuații să dea din nou soluția acesteia - de exemplu, dacă este liniară. În acest caz, va fi un snop de grupuri cu o operație de grup dată prin adăugarea punctuală a funcțiilor. Cu toate acestea, în cazul general - doar un snop de seturi și nu un snop de grupuri sau inele.
Să fie o varietate netedă . Câmpul vectorial de pe mapează fiecare punct la un vector din spațiul tangent la punctul . Este necesar să depindă lin de . Să definim un snop care va transporta informații despre câmpurile vectoriale pe . Pentru fiecare set deschis , considerați ca o varietate netedă și fie mulțimea tuturor câmpurilor vectoriale (netede) pe . Cu alte cuvinte, există un set de funcții care mapează un punct pe un vector din , în funcție de acesta. Deoarece este deschis, . Definim mapările de constrângeri ca restricții ale câmpurilor vectoriale.
Pentru a arăta că există un snop, mai întâi rețineți că acesta constă dintr-o singură funcție goală, deoarece nu există puncte în mulțimea goală. Să verificăm acum axioma de lipire. Fie , un set de mulțimi deschise, iar U uniunea lor. Pe fiecare set deschis , alegem un câmp vectorial , și presupunem că aceste câmpuri sunt consecvente la intersecții, adică . Acum definim un nou câmp vectorial V pe U după cum urmează: pentru orice x din U , alegeți , care conține x . Să definim V(x) ca . Deoarece câmpurile sunt consistente la intersecții, V este bine definit. Mai mult, V(x) este un vector tangent din , care depinde fără probleme de x , deoarece depinde fără probleme de x și „dependența netedă” este o proprietate locală. În cele din urmă, V este singura lipire posibilă a câmpurilor , deoarece V este determinat în mod unic de valorile sale în fiecare punct x , iar aceste valori trebuie să se potrivească cu valorile câmpului de pe .
Se poate da o altă definiție a snopului folosind mănunchiul tangent TM al colectorului M . Să considerăm o proiecție naturală care mapează un punct x la o pereche (x, v) , unde x este un punct pe M și v este un vector din . Un câmp vectorial pe o mulțime deschisă U este același cu o secțiune a proiecției p , adică o mapare lină astfel încât , unde este maparea identității pe U . Cu alte cuvinte, secțiunea s asociază un punct x cu o pereche (x, v) într-un mod neted. Maparea s nu poate asocia un punct x cu o pereche (y, v) cu , din cauza condiției . Acest lucru ne permite să reprezentăm mănunchiul tangent ca un mănunchi de secțiuni ale unui fascicul tangent. Cu alte cuvinte, pentru orice U există un set de toate secțiunile proiecției p , iar hărțile de restricție sunt restricțiile obișnuite ale funcțiilor. Prin analogie, se poate construi un snop de secțiuni din orice mapare continuă a spațiilor topologice.
Un snop este întotdeauna un snop de grupuri cu operații de adunare vectorială punctual. Cu toate acestea, de obicei nu există un snop de inele, deoarece operația de înmulțire nu este definită în mod natural pe vectori.
Primul pas în definirea noțiunii de snop este de a defini noțiunea de presheaf , care cuprinde spațiile de date asociate fiecărui subset deschis al unui spațiu topologic și operațiunile de restricționare a acestor date de la subseturi mai mari la mai mici. La a doua etapă, sunt impuse restricții suplimentare - cerințele pentru satisfacerea axiomelor de normalizare și lipire. Un snop care îndeplinește aceste cerințe este un snop.
Fie un spațiu topologic și C o categorie . Un presfeaf cu valori în categoria C este dat peste un spațiu dacă [1] :
Aceste morfisme sunt numite morfisme de restricție . Totalitatea acestor morfisme trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
Ultima condiție înseamnă că ar trebui să fie indiferent dacă limităm datele de la o zonă la alta direct, sau în două etape - cu o restricție preliminară pe , și de la aceasta deja - pe .
Presheaves în teoria categorieiO definiție foarte compactă a unui presheaf se obține în ceea ce privește teoria categoriilor. În primul rând, se definește categoria O(X) de mulțimi deschise ale spațiului X , ale cărei obiecte sunt submulțimi deschise ale lui X , iar mulțimea de morfisme ale unui obiect V din această categorie într-un obiect U în cazul în care V este o submulțime. din U , constă dintr-un singur morfism — maparea incluziunii V în U , iar în caz contrar gol. Apoi, un pre-spor peste un spațiu X cu valori în categoria C este orice functor contravariant F din categoria O(X) la categoria C. O astfel de definiție a unui presheaf permite o generalizare suplimentară atunci când se consideră functorii în C , nu neapărat dintr-o categorie de forma O(X) (vezi presheaf (teoria categoriilor) ).
Dacă un presheaf F este dat peste un spațiu X cu valori în categoria C , iar U este o submulțime deschisă a lui X , atunci obiectul F(U) se numește spațiu de secțiune al presheaf F peste mulțimea U. Dacă C este o categorie specifică , atunci fiecare element al mulțimii F(U) se numește o secțiune a snopului F peste U , prin analogie cu secțiunile de spații fibroase și spațiul étale al snopului (vezi mai jos ). O secțiune peste X se numește secțiune globală . Constrângerea secțiunii este de obicei notă ca . F(U) este, de asemenea, adesea notat ca , în special în contextul teoriei coomologiei snopului , în care domeniul U este fix și snopiul F este variabil.
Un snop este un pre-snop în care sunt valabile 2 axiome [2] .
Desigur, pentru ca axioma să aibă sens, categoria C trebuie să aibă un obiect terminal. În practică, acesta este de obicei cazul.
Cu toate acestea, o axiomă mai importantă este axioma de lipire . Amintiți-vă că, în exemplele discutate mai sus, această axiomă impunea ca setul de date (secțiuni ale snopului) care sunt consecvente la intersecțiile domeniilor lor de definiție să permită întotdeauna (mai mult, în mod unic) lipirea lor - o secțiune peste uniunea de deschidere. seturi peste care această secțiune este dată ca parțial. Pentru simplitate, formulăm axioma de lipire în cazul în care C este o categorie concretă. Pentru cazul general, vezi articolul „ axioma lipirii ”.
Fie o mulțime de mulțimi deschise în spațiul X și U este uniunea lor. Să fie dată o secțiune a unui (pre)snop F peste fiecare dintre ele . Un set de aceste secțiuni este numit compatibil dacă pentru orice i și j
.Axioma de lipire pentru F este satisfăcută dacă
Secțiunea s se numește lipire ( eng. lipire, concatenare, colare ) a secțiunilor , deoarece este, parcă, lipită împreună din secțiuni mai mici.
În exemplele date mai sus, anumite funcții corespundeau secțiunilor transversale ale grinzilor. În astfel de cazuri, axioma de lipire pleacă de la funcții care coincid la intersecții și afirmă existența unei funcții unice f care extinde simultan toate funcțiile la mulțimea U , exact ceea ce a fost arătat în acele exemple pentru a demonstra că un snop a fost într-adevăr prezentat în ele. .
Adesea, axioma lipirii este împărțită în două părți - axioma existenței și axioma unicității. Presheaves care satisfac doar axioma unicității sunt numite presheaves separabile ( separate în engleză ).
Deoarece snopii conțin exact datele necesare pentru a trece de la situații locale la cele globale, există multe exemple de snopi care apar în matematică. Iată câteva exemple suplimentare de pachete:
Unele structuri matematice sunt definite ca spații cu un snop fix pe el. De exemplu, un spațiu cu o grămadă de inele deasupra (pe el) se numește spațiu inel . Dacă toate fibrele (vezi mai jos) ale unui snop sunt inele locale , atunci acesta este un spațiu inelat local . Dacă secțiunile unui snop de inele locale sunt reprezentabile local ca elemente ale unui inel comutativ, obținem schema .
Iată 2 exemple de snopi care nu sunt snopi:
Deoarece snopii conțin date asociate cu fiecare subset deschis al lui X , un morfism snopi este definit ca un set de mapări, una pentru fiecare set deschis, care satisface anumite condiții de consistență.
Snopii sunt snopi de un fel special, la fel cum grupurile abeliene sunt un caz special de grupuri (snopii formează o subcategorie completă în categoria snopii). Cu alte cuvinte, un morfism de snopi este același cu un morfism din categoria pre-snopi, dar între obiecte care sunt snopi; axioma de lipire nu este folosită în niciun fel în definirea unui morfism.
În această secțiune, toate snopii sunt definite pe spațiul X și iau valori într-o categorie fixă C (când vorbim despre nucleul și cokernelul morfismelor, presupunem că C este o categorie abeliană ).
Să fie și două astfel de mănunchiuri. Un morfism de snopi C pe X asociază cu fiecare mulțime deschisă U de X un morfism , astfel încât toate aceste morfisme sunt compatibile între ele și cu mapările de restricție din ambele snopi. Cu alte cuvinte, pentru fiecare mulțime deschisă V și submulțimea sa deschisă U , există o diagramă comutativă :
Această condiție de consistență înseamnă că fiecare secțiune s a snopului G peste o mulțime deschisă V este asociată cu o secțiune peste V a snopului F , iar restricțiile lor la o submulțime deschisă U a mulțimii V sunt legate printr-un morfism . (Restricția la imaginea V a unei secțiuni s este aceeași cu imaginea restricției sale la V. )
Simplul fapt că un morfism de snopi este un izomorfism (adică are un morfism invers) exact atunci când toate morfismele sunt izomorfisme (reversibile). Același lucru este valabil pentru monomorfisme și nu pentru epimorfisme . Acest lucru se datorează faptului că miezul unui morfism de snopi este întotdeauna un snopi, în timp ce imaginea și snopii pot să nu fie (dar vor fi întotdeauna presnopi separabili). Vezi articolul „ Coomologia snopilor ”.
În plus, snopii iau valori într-o categorie fixă C , dar pot fi definite în spații diferite.
Fie X și Y spații topologice cu snopi O X și , respectiv, O Y definite pe ele . Morfismul unei perechi ( X , O X ) în ( Y , O Y ) este dat de următoarele date:
Această definiție este potrivită și pentru definirea unui morfism de presheaves pe diferite spații.
Este adesea util să se reprezinte datele care formează pregrindul folosind un snop. Se pare că există o procedură foarte convenabilă care vă permite să faceți acest lucru. Luați un snop înainte și construiți un snop nou , numit snop asociat cu snopiul . se numește functor de snopi asociat ( functor de snopi în engleză , functor de snopi, functor de snopi asociat ). Există un morfism natural înainte de snopi cu proprietatea de universalitate că, pentru orice morfism de snopi și înainte de snopi , există un morfism de snopi unic astfel încât . De fapt, există un functor adjunct la functorul de încorporare a categoriei de snopi în categoria de presnopi și există o unitate de conjugare .
Stratul snopului permite descrierea proprietăților snopului „lângă” punctul x ∈ X . Aici „aproape” înseamnă că ne uităm la cel mai mic cartier posibil al punctului. Desigur, niciun cartier nu este suficient de mic în sine, dar putem lua în considerare limita lor (sau, mai exact, colimit ).
Stratul de deasupra punctului x este definit ca
limita directă a tuturor vecinătăților punctului x . Cu alte cuvinte, un element al stratului este o secțiune a snopului într-o vecinătate x și două astfel de secțiuni corespund unui element al snopului dacă au aceeași restricție pe o vecinătate a punctului x .
Morfismul natural F ( U ) → F x ia o secțiune s în vecinătatea lui F ( U ) la germenul său . Acest lucru generalizează definiția obișnuită a unui germen .
![]() | |
---|---|
În cataloagele bibliografice |