Reprezentându-l pe Lax

Reprezentare laxă - utilizată în teoria sistemelor integrabile , reprezentarea ecuațiilor sistemului sub forma ecuației Lax pentru o pereche de operatori dependenți de timp, numită pereche Lax . Avantajul unei astfel de reprezentări este că, dacă a fost posibil să se scrie ecuațiile în această formă, atunci se obține automat un set de prime integrale de mișcare.

O pereche Lax este o pereche de operatori dependenți de timp care acționează pe un spațiu Hilbert dat și care satisfac ecuația Lax : $L(t),P(t)$

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

Într-un astfel de caz, mărimile sunt (poate nu toate independente) primele integrale ale mișcării. $\operatorname {tr} L^{k}$

Reprezentarea a fost propusă inițial de Peter Laks în contextul teoriei solitonilor . De exemplu, ecuația Korteweg-de Vries :

{\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx))

poate fi reprezentat printr-o pereche:

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+ 3u_{x}\end{aliniat}}

Mulțimea oferă un set numărabil de cantități conservate. $\operatorname {tr} L^{k}$

Multe alte sisteme pot fi, de asemenea, scrise ca o reprezentare Lax, cum ar fi ecuația sinus-Gordon , lanțul Toda , vârful Kovalevskaya , ecuația Kadomtsev-Petviashvili și așa mai departe.

Literatură

P. Lax. Integrale ale ecuațiilor neliniare ale evoluției și undelor solitare // Comunicări despre matematică pură și aplicată. - 1968. - T. 21 , nr. 5 . — S. 467–490 . - doi : 10.1002/cpa.3160210503 .
P. Lax, RS Phillips. Teoria împrăștierii pentru funcții automorfe // Bull. A.m. Matematică. soc. . - 1980. - T. 2 , nr. 2 .