Ecuația Korteweg-de Vries

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 24 ianuarie 2022; verificările necesită 6 modificări .

Ecuația Korteweg-de Vries ( Ecuația KdV ; scrisă și de Vries , de Vries , de Vries , De Vries ; ing. Ecuația Korteweg–de Vries ) este o ecuație diferențială parțială neliniară de ordinul trei care joacă un rol important în teoria undelor neliniare , în principal de origine hidrodinamică . A fost obținut pentru prima dată de Joseph Boussinesq în 1877 [1] , dar o analiză detaliată a fost deja realizată de Diederik Korteweg și Gustav de Vries în 1895 [2] .

Ecuația arată astfel:

{\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 }}}=0

Hotărâri

Pentru ecuația Korteweg-de Vries s-au găsit un număr mare de soluții exacte, care sunt unde neliniare staționare. În special, această ecuație are soluții de tip soliton de următoarea formă:

u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2} t-x_{0}\dreapta)\dreapta]}}

unde este un parametru liber care determină înălțimea și lățimea solitonului, precum și viteza acestuia; este, de asemenea, o constantă arbitrară, în funcție de alegerea originii axei x . De o importanță deosebită pentru solitoni este faptul că orice perturbație inițială, care scade exponențial la infinit, evoluează în timp într-un set finit de solitoni separați în spațiu. O căutare exactă a acestor soluții poate fi efectuată în mod obișnuit utilizând metoda împrăștierii inverse . $\kappa$ $x_{0}$

Soluțiile periodice ale ecuației Korteweg-de Vries au forma undelor cnoidale descrise prin integrale eliptice :

x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2))}du

unde c , E sunt parametrii undei care determină amplitudinea și perioada acesteia .

De asemenea, ecuația Korteweg-de Vries permite soluții auto-similare , care în cazul general pot fi obținute folosind transformări Bäcklund și sunt exprimate în termeni de soluții la ecuația Painlevé .

Integrale de mișcare și reprezentarea Lax

Ecuația Korteweg-de Vries este de mare importanță pentru teoria sistemelor integrabile ca fiind unul dintre cele mai simple exemple de ecuație diferențială neliniară exact rezolvabilă. Integrabilitatea este asigurată de prezența unui număr infinit de integrale de mișcare în ecuație , având forma

I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\partial _{x}u,\,\partial _{x}^ {2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,

unde sunt polinoame de gradul al n-lea în funcția necunoscută și derivatele sale spațiale, date recursiv după cum urmează: $P_{n}$

{\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1} ^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{aligned}}

Ele pot fi obținute folosind reprezentarea Lax

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

printr-o pereche de operatori

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+ 3u_{x}.\end{aliniat}}

Mai mult, se poate demonstra că ecuația Korteweg-de Vries are o structură bi-Hamiltoniană.

Câteva primele integrale ale mișcării:

greutate $\int u\,{\text{d}}x,$
puls $\int u^{2}\,{\text{d}}x,$
energie $\int \left[2u^{3}-\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x.$

Generalizări

În prezența disipării, ecuația Korteweg-de Vries se transformă în ecuația Burgers-Korteweg-de Vries , care are forma

{\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 ))}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}

unde parametrul caracterizează cantitatea de disipare. $\nu$

În geometria bidimensională, o generalizare a ecuației Korteweg-de Vries este așa-numita ecuație Kadomtsev-Petviashvili , care are forma:

{\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}

Note

↑ Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes (franceză) . - 1877. - S. 360. - 680 p.
↑ DJ Korteweg , G. de Vries . Despre schimbarea formei undelor lungi care avansează într-un canal dreptunghiular și asupra unui nou tip de unde lungi staționare // Philosophical Magazine . - 1895. - Vol. 39 . - P. 422-443 .

Literatură

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Sisteme integrabile. I. - Sisteme dinamice - 4, Itogi Nauki i Tekhniki. - M. : VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (Probleme moderne de matematică. Direcţii fundamentale).
Zaharov V. E., Manakov S. V., Novikov S. P., Pitaevskii L. P. Teoria solitonilor: metoda problemei inverse. - 1980. - 319 p.
Ecuația Korteweg-de Vries - articol Enciclopedia fizicii
J. Whitham. 13.11. Ecuația Korteweg-de Vries și Boussinesq // Unde liniare și neliniare . - Mir, 1977. - S. 443-448. — 622 p.
Newell A. Solitons în matematică și fizică. - 1989. - 326 p.

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare