Polinom separabil

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Un polinom separabil este un polinom peste un câmp ai cărui factori ireductibili nu au rădăcini multiple în închiderea algebrică a câmpului . $K$ $K$

Există și o definiție alternativă, apropiată în esență, dar nu echivalentă în cazul general: un polinom este separabil dacă nu are rădăcini comune cu derivata sa formală . Aceasta din urmă înseamnă că polinomul însuși (și nu doar factorii ireductibili ) nu are rădăcini multiple în închiderea algebrică. În special, pentru polinoamele ireductibile ambele definiții sunt echivalente. $P$ $P'$ $P$ $K$

Polinoamele ireductibile peste câmpuri perfecte sunt întotdeauna separabile - ceea ce include, în special, toate câmpurile cu caracteristica zero, precum și toate câmpurile finite .

Deoarece un polinom ireductibil este (prin algoritmul lui Euclid ) coprim la toate polinoamele de grad mai mic, acesta poate fi inseparabil numai dacă derivata sa este zero. Prin urmare, inseparabilitatea este un fenomen care se manifestă doar într-o caracteristică pozitivă: pentru un polinom inseparabil ireductibil , reprezentarea trebuie să aibă loc: $P$

P(X)=Q(X^{p})

unde este și un polinom ireductibil și este o caracteristică a câmpului. Pe baza acestui lucru, este ușor să construiți un exemplu de polinom neseparabil, de exemplu, acesta este un polinom: $Q$ $p$

P(X)=X^{p}-T

peste câmpul funcţiilor raţionale ale unei variabile peste câmpul elementelor . Într-adevăr, când treceți la o extensie algebrică (sau pur și simplu când vă alăturați unui câmp ): $K=\mathbb {F} _{p}(T)$ $T$ $p$ $\mathbb {F} _{p}$ $T^{1/p)$ $K$

P(X)=X^{p}-(T^{1/p})^{p}=(XT^{1/p})^{p)

cu alte cuvinte, este o rădăcină (unica) a multiplicității . $T^{1/p)$ $p$