Câmp perfect

În algebra generală , se spune că un câmp k este perfect dacă una dintre următoarele condiții echivalente este îndeplinită:

1) Orice polinom ireductibil peste k are rădăcini distincte în închiderea algebrică a lui k . 2) Fiecare extensie finită k este separabilă . 3) Fiecare extensie algebrică k este separabilă . 4) k are caracteristica 0 sau k are caracteristica p > 0 și fiecare element al lui k este o putere p -a. 5) k are caracteristica 0 sau k are caracteristica p > 0 iar endomorfismul Frobenius este un automorfism de . 6) k coincide cu multimea punctelor fixe ale k -automorfismelor inchiderii algebrice k .

În caz contrar, se spune că câmpul este imperfect .

Câmpurile perfecte sunt utile prin faptul că teoria Galois asupra lor devine mult mai simplă, deoarece condiția de separabilitate pentru extensiile de câmp este îndeplinită automat.

Mai general, se spune că un inel cu caracteristica p este perfect dacă endomorfismul său Frobenius este un automorfism. [1] (În cazul inelelor integrale, aceasta este echivalentă cu condiția „fiecare element este o putere p -a).”

Exemple

Toate câmpurile cu caracteristica zero sunt perfecte, cum ar fi câmpul numerelor raționale .
Toate câmpurile terminale .
Toate câmpurile închise algebric .
Sunt perfecte și extensiile algebrice ale unui câmp perfect.

Majoritatea domeniilor care apar în practică sunt perfecte. Exemple de câmpuri imperfecte sunt oferite de geometria algebrică în caracteristica p > 0. De exemplu, câmpul funcțiilor raționale ale unei variabile peste un câmp cu caracteristica p este imperfect, deoarece acestui câmp îi lipsește rădăcina p -a a lui x .

Închidere perfectă

În caracteristica p > 0, se poate „face” câmpul k perfect prin adăugarea acestuia rădăcini p de gradul r ( r ≥1) din toate elementele. Câmpul rezultat se numește închiderea perfectă a lui k și este de obicei notat . $k^{p^{-\infty ))$

În ceea ce privește proprietatea universală , închiderea perfectă a unui inel de caracteristică este un inel perfect de caracteristică împreună cu un homomorfism inel astfel încât pentru orice inel perfect de caracteristică cu un homomorfism există un homomorfism unic astfel încât . O închidere perfectă există pentru orice inel [2] , prin urmare, un functor de închidere perfectă există și este adjunctul din stânga unui functor uitător din categoria inelelor perfecte la categoria inelelor. $A$ $p$ $A_{p}$ $p$ $u:A\to A_{p)$ $B$ $p$ $v:A\la B$ $f:A_{p}\la B$ $v=f\circ u$

Note

↑ Serre, 1979 , Secțiunea II.4
↑ Bourbaki, 2003 , Secțiunea V.5.1.4, pagina 111

Literatură

Bourbaki N. Algebră. Partea 2. Polinoame și câmpuri. Grupuri ordonate - M .: Nauka, 1965
Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II , Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
Brinon, Olivier & Conrad, Brian (2009), CMI Summer School Notes on p-adic Hodge theory , < http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf > . Preluat la 5 februarie 2010.
Serre, Jean-Pierre (1979), Câmpurile locale , voi. 67 (2 ed.), Texte pentru absolvenți în matematică, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5
Cohn, P. M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields
Matsumura, H (2003), Teoria inelelor comutative , voi. 8 (ed. a II-a), Tradus din japoneză de M. Reid. Studii Cambridge în matematică avansată