Urme (teoria câmpului)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 iulie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Urmărirea este o mapare a elementelor extinderii finale a câmpului la câmpul inițial K , definită după cum urmează: $E\ supărat K$

Fie E o extensie finită K de grad , fie un element al câmpului E . Deoarece E este un spațiu vectorial peste un câmp K , acest element definește o transformare liniară . Această transformare într-o anumită bază poate fi asociată cu matricea . Urma acestei matrice se numește urma elementului α . Deoarece într-o altă bază această mapare va corespunde unei matrice similare cu aceeași urmă, urma nu depinde de alegerea bazei, adică fiecare element al extensiei este asociat în mod unic cu urma sa. Se notează sau, dacă este clar ce extensie este în discuție, pur și simplu . $n=[E:K]$ $\alpha \in E$ $x\mapsto \alpha x$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )$ ${\text{Tr}}(\alpha )$

Proprietăți de urmărire

${\text{Tr))(\alpha +\beta )={\text{Tr))(\alpha )+{\text{Tr))(\beta )$
${\text{Tr))(c\alpha )=c{\text{Tr))(\alpha )$ la $c\în K$
Dacă E este o extensie separabilă a lui , atunci este o funcțională diferită de zero; dacă nu este separabilă, atunci . ${\text{Tr}}_{K}^{E}$ ${\text{Tr}}_{K}^{E}=0$
Urma este tranzitivă, adică pentru un lanț de extensii pe care îl avem $K\subset E\subset F$ ${\text{Tr))_{K}^{E}({\text{Tr))_{E}^{F}(\alpha ))={\text{Tr))_{K}^{ F}(\alpha )$
Dacă este o extensie algebrică simplă și este un polinom minim α, atunci $E=K(\alpha )$ $f(x)=x_{n}+a^{n-1}x_{n-1}+...+a_{1}x+a_{0)$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=-a_{{n-1}}$

Urme de expresie în termeni de automorfisme ale lui E peste K

Fie σ 1 ,σ 2 …σ m toate automorfismele lui E care lasă elementele lui K fixe . Dacă E este separabil, atunci m este egal cu gradul [E:K]=n . Apoi, există următoarea expresie pentru urmă:

${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha )$

Dacă E nu este separabil, atunci m≠n , dar n este un multiplu al lui m , iar câtul este un anumit grad de caracteristică p: n=p i m .

Apoi ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\ sigma _{m}(\alpha ))^{m/n}$

Exemplu

Fie K câmpul numerelor reale și E câmpul numerelor complexe . Atunci urma numărului este . Urma unui număr complex poate fi calculată folosind formula , iar acest lucru este de acord cu faptul că conjugarea complexă este singurul automorfism al câmpului numerelor complexe. $a+bi$ $2a$ ${\text{Tr}}\;z=z+{\bar z}$

Vezi și

Normă (teoria câmpului)

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O. , Samuel P. Algebra comutativă v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967