Accelerație proprie

Accelerația intrinsecă [1] în teoria relativității este accelerația fizică (adică accelerația măsurabilă, de exemplu folosind un accelerometru ) experimentată de un obiect. Astfel, accelerația relativă la căderea liberă sau un observator inerțial este momentan în repaus în raport cu obiectul măsurat. Gravitația nu provoacă propria sa accelerație, deoarece gravitația acționează asupra observatorului inerțial în așa fel încât propria sa accelerație nu este fixă. Consecința este că toți observatorii inerțiali au întotdeauna accelerație intrinsecă zero.

Accelerația intrinsecă contrastează cu accelerația , care depinde de alegerea sistemului de coordonate și, prin urmare, de alegerea observatorului.

În coordonatele inerțiale standard ale teoriei relativității speciale pentru mișcarea unidirecțională, accelerația proprie este rata de modificare a vitezei proprii în raport cu timpul de coordonare.

Într-un cadru inerțial în care obiectul este instantaneu în repaus, vectorul de 3 accelerație propriu-zis, combinat cu o componentă de timp zero, dă accelerația 4 a obiectului, ceea ce face ca mărimea accelerației intrinseci Lorentz să fie invariabilă . Astfel, conceptul este util în următoarele cazuri: (i) cu cadre accelerate, (ii) la viteze relativiste și (iii) în spațiu-timp curbat.

Într-o rachetă care accelerează după lansare, sau chiar într-o rachetă la lansare, accelerația intrinsecă este accelerația resimțită de ocupanți și este descrisă ca o forță g (care nu este o forță, ci doar o accelerație, vezi acest articol pentru o discuție mai detaliată despre accelerația intrinsecă) produsă numai de vehicule. [2] „Accelerația gravitației” („gravitația”) nu contribuie niciodată la propria sa accelerație în nicio circumstanță, ceea ce înseamnă că accelerația proprie observată de observatorii care stau pe sol se datorează unei forțe mecanice a pământului , și nu datorată. la „forţa sau „accelerarea” gravitaţiei. Dacă solul este îndepărtat și observatorului i se permite să cadă liber, observatorul va experimenta o accelerație coordonată, dar fără auto-accelerare și, prin urmare, fără forță g. De obicei, obiectele aflate într-o astfel de cădere, sau în general în orice cale balistică (numită și mișcare inerțială), inclusiv obiectele aflate pe orbită, nu experimentează propria accelerație (neglijând accelerațiile mici ale mareelor pentru căile inerțiale în câmpurile gravitaționale). Această stare este cunoscută și sub numele de „ imponderabilitate ” („zero-g”) sau „cădere liberă”.

Accelerația intrinsecă este redusă la cea de coordonate în sistemul de coordonate inerțial în spațiu-timp plat (adică în absența gravitației), cu condiția ca viteza intrinsecă a obiectului [3] (momentul pe unitate de masă) să fie mult mai mică. decât viteza luminii c . Numai în astfel de situații accelerația de coordonate este resimțită pe deplin ca o suprasarcină (adică propria accelerație, definită și ca crearea unei greutăți măsurabile).

În situațiile în care nu există gravitație, dar sistemul de coordonate ales nu este inerțial, ci accelerează cu observatorul (de exemplu, cadrul de referință accelerat al rachetei acceleratoare sau un cadru fixat pe obiecte într-o centrifugă), atunci forțele g iar accelerațiile corespunzătoare observate de observatori în aceste sisteme de coordonate sunt cauzate de forțe mecanice care rezistă greutăților lor în astfel de sisteme. Această greutate, la rândul său, este creată de forțele inerțiale , care apar în toate astfel de sisteme de coordonate accelerate, similare greutății create de „forța gravitației” pentru obiectele fixate în spațiu în raport cu un corp gravitator (ca pe suprafața Pământ).

Forța totală (mecanică) care este calculată pentru a provoca propria accelerație a unei mase în repaus într-un sistem de coordonate care are propria sa accelerație, conform legii lui Newton F = m a , se numește forță proprie . După cum s-a văzut mai sus, forța proprie este egală cu forța de reacție, care este măsurată ca „greutatea de lucru” a obiectului (adică greutatea acestuia măsurată de un dispozitiv ca o balanță cu arc în vid, în sistemul de coordonate al obiectului). Astfel, puterea proprie a unui obiect este întotdeauna egală numeric și opusă în direcție greutății măsurate.

Exemple

Când este ținut pe un carusel care se rotește cu o viteză unghiulară constantă , experimentezi o auto-accelerare radială internă ( centripetă ) datorită interacțiunii dintre manivelă și mână. Aceasta anulează accelerația geometrică radială spre exterior asociată cadrului de referință rotativ . Această accelerație spre exterior (în ceea ce privește cadrul de referință rotativ) va deveni accelerația de coordonate atunci când eliberați mâinile, rezultând un zbor geodezic cu accelerație intrinsecă zero. Desigur, în acest moment, observatorii neaccelerați în cadrul lor de referință pur și simplu văd cum dispar accelerațiile proprii și coordonate.

În mod similar, atunci când stăm pe o planetă care nu se rotește (și pe pământ), experimentăm propria noastră accelerație ascendentă datorită forței normale (perpendiculare pe suprafață) exercitată de pământ asupra tălpii pantofilor. Neutralizează accelerația geometrică în direcția descendentă datorită alegerii sistemului de coordonate (așa-numitul cadru de referință de suprafață (cadru shell englez) [4] ). Această accelerație descendentă devine coordonată dacă coborâm accidental de pe o stâncă într-o traiectorie de accelerație intrinsecă zero (cadru de referință geodezic sau de ploaie).

Rețineți că accelerațiile geometrice (datorită termenului de conexiune afine din sistemul de coordonate derivat covariant ) acționează asupra fiecărui gram al ființei noastre , în timp ce accelerațiile adecvate sunt de obicei cauzate de o forță externă. Cursurile introductive de fizică tratează adesea accelerația gravitațională descendentă (geometrică) ca o consecință a forței gravitaționale . Acest lucru, împreună cu o evitare atentă a cadrelor de referință neaccelerate, le permite să considere coordonatele și accelerația corespunzătoare ca una și aceeași entitate.

Chiar și atunci când un obiect menține o accelerație adecvată constantă pentru o perioadă lungă de timp în spațiu-timp plat, observatorii în repaus vor vedea scăderea accelerației de coordonate a obiectului pe măsură ce viteza sa de coordonate se apropie de viteza luminii. Cu toate acestea, rata de creștere a vitezei proprii a obiectului rămâne constantă.

Astfel, diferența dintre accelerația proprie și cea coordonată [5] permite urmărirea experienței călătorilor accelerați din diverse perspective non-newtoniene. Aceste perspective includ cazuri precum sistemele de coordonate accelerate (de exemplu, carusele), viteze mari (atunci când timpul corespunzator și coordonatele diferă) și spațiu-timp curbat (de exemplu, asociat cu gravitația pe Pământ).

Aplicații clasice

La viteze mici în sistemele de coordonate inerțiale ale fizicii newtoniene, accelerația adecvată este egală cu accelerația de coordonate a =d 2 x /dt 2 . Cu toate acestea, așa cum am menționat mai sus, diferă de accelerația de coordonate dacă alegeți (împotriva sfatului lui Newton) să descrieți lumea în termeni de un sistem de coordonate accelerat, cum ar fi o mașină cu viteză sau o piatră care se învârte într-o praștie. Dacă sunteți de acord că gravitația este cauzată de curbura spațiu-timp (vezi mai jos), într-un câmp gravitațional , accelerația adecvată diferă de cea de coordonate.

De exemplu, un obiect supus unei accelerații fizice sau intrinseci a o va fi observat de către observatori într-un sistem de coordonate supus unei accelerații constante un cadru cu accelerație de coordonate:

{\vec {a}}_{acc}={\vec {a}}_{o}-{\vec {a}}_{cadru}

Astfel, dacă un obiect accelerează cu un cadru de referință, observatorii ancorați în acel cadru de referință nu vor vedea deloc nicio accelerație.

În mod similar, un obiect supus unei accelerații fizice sau intrinseci a o va fi observat de către observatori într-un cadru care se rotește la o viteză unghiulară ω ca având o accelerație de coordonate:

{\vec {a}}_{rot}={\vec {a}}_{o}-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\ vec {r)))-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rot}-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r))

În ecuația de mai sus, există trei termeni de accelerație geometrică în partea dreaptă. Prima este „accelerația centrifugă”, depinde doar de poziția radială „r”, și nu de viteza obiectului nostru, a doua este „accelerația Coriolis”, depinde doar de viteza obiectului în cadrul de referință rotativ v rot , dar nu de poziția sa, iar al treilea termen - „accelerația Euler”, depinde doar de poziția și rata de schimbare a vitezei unghiulare a cadrului de referință.

În fiecare dintre aceste cazuri, accelerația fizică sau intrinsecă este diferită de accelerația de coordonate, deoarece aceasta din urmă poate fi influențată de alegerea noastră a sistemului de coordonate, precum și de forțele fizice care acționează asupra obiectului. Acele componente ale accelerației de coordonate care nu sunt cauzate de forțe fizice (cum ar fi contactul direct sau atracția electrostatică) sunt adesea atribuite (ca în exemplul lui Newton de mai sus) forțelor care: (i) acționează asupra fiecărui gram al unui obiect, (ii) provoacă accelerații independente de masă și (iii) nu există din toate punctele de vedere. Astfel de forțe geometrice (sau improprii) includ forțele Coriolis , forțele Euler , forțele g , forțele centrifuge și (cum vom vedea mai jos) gravitația .

Privit dintr-o porțiune de spațiu-timp plat

Raportul accelerației corespunzătoare față de coordonatele unei părți date a spațiu-timp plat rezultă [6] din ecuația metricii spațiu-timp plat Minkowski ( c d τ ) 2 = ( c d t ) 2 — (d x ) 2 . Aici, un singur cadru de referință de metri și ceasuri sincronizate determină poziția de repaus a cadrului x și, respectiv, timpul de repaus t , ceasul obiectului în mișcare determină timpul propriu τ , iar „d” în fața coordonatei denotă o modificare infinitezimală. Aceste relații fac posibilă rezolvarea diverselor probleme de „inginerire a oricăror viteze”, deși numai din punctul de vedere al cadrului de referință extins al repausului observatorului, în care este definită simultaneitatea.

Accelerație în (1+1)D

În cazul unidirecțional, când accelerația obiectului este paralelă sau antiparalelă cu viteza sa în secțiunea mediană a observatorului, accelerația corectă α și accelerația coordonată a sunt legate de [7] prin factorul Lorentz γ pentru α =γ 3 a . Prin urmare, modificarea vitezei proprii w=dx/dτ este integrala propriei accelerații în timp a sistemului în repaus t, adică Δ w = α Δ t pentru constanta α . La viteze mici, acest lucru se reduce la relația binecunoscută dintre viteza coordonatelor și timpul de accelerație în coordonate, adică Δ v = a Δ t .

Pentru o accelerație proprie unidirecțională constantă, există relații similare între viteza η și timpul propriu-zis scurs Δ τ , precum și între coeficientul Lorentz γ și distanța parcursă Δ x . Și anume:

\alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t))=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau })=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x))

unde diferiți parametri de viteză sunt legați prin relație

\eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}} \right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right)

Aceste ecuații descriu unele dintre consecințele mișcării accelerate la viteză mare. De exemplu, imaginați-vă o navă spațială care își poate accelera pasagerii cu 1 g (10 m/s 2 sau aproximativ 1,0 ani lumină pe an pătrat) la jumătatea distanței până la destinație, apoi să le decelereze la 1 g până la jumătatea distanței rămase pentru a furniza Pământului gravitație artificială din punctul A. la punctul B. [8] [9] Pentru distanțele cadru de repaus Δ x AB, prima ecuație de mai sus prezice un factor Lorentz mediu γ mid =1+ α (Δ x AB /2)/c 2 . Prin urmare, timpul dus-întors pe ceasul comandantului va fi Δ τ = 4( c / α ) cosh −1 ( γ mid ), timp în care timpul scurs pe ceasul sistemului de odihnă va fi Δ t = 4( c / α ) sinh [cosh −1 ( γ mid )].

Această navă spațială imaginară ar putea oferi călătorii către și de la Proxima Centauri care durează aproximativ 7,1 ani în funcție de orele călătorilor (~12 ani în funcție de ora Pământului), călătorii către gaura neagră centrală în aproximativ 40 de ani (~ 54.000 de ani în funcție de ora Pământului) și călătorește în Galaxia Andromeda , cu o durată de aproximativ 57 de ani (peste 5 milioane de ani după ceasul Pământului). Din păcate, accelerația de 1 g de-a lungul anilor este mai ușor de spus decât de făcut, așa cum este ilustrat în figura din dreapta, care arată raportul dintre sarcina utilă maximă și greutatea de lansare.

Note

↑ Edwin F. Taylor & John Archibald Wheeler (numai prima ed. 1966) Fizica spațială (WH Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X , Capitolul 1 Exercițiul 51 pagina 97-98: „Paradoxul ceasului III” ( pdf ) Arhivat pe 21 iulie 2017 la Wayback Machine ).
↑ Relativitatea de Wolfgang Rindler pag. 71
↑ Francis W. Sears și Robert W. Brehme (1968) Introduction to the theory of relativity (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344 Arhivat la 30 iulie 2012 la Wayback Machine , secțiunea 7-3
↑ Edwin F. Taylor și John Archibald Wheeler (2000) Exploring black holes (Addison Wesley Longman, NY) ISBN 0-201-38423-X
↑ cf. CW Misner, KS Thorne și JA Wheeler (1973) Gravitation (WH Freeman, NY) ISBN 978-0-7167-0344-0 , secțiunea 1.6
↑ P. Fraundorf (1996) „A one-map two-clock approach to teaching relativity in introductory physics” ( arXiv:physics/9611011 )
↑ A. John Mallinckrodt (1999) Ce se întâmplă când a*t>c? Arhivat din original la 30 iunie 2012. (Întâlnirea de vară a AAPT, San Antonio TX)
↑ E. Eriksen și Ø. Grøn (1990) Dinamica relativistă în cadre de referință uniform accelerate cu aplicare la paradoxul ceasului, Eur. J Phys. 39 :39-44
↑ C. Lagoute și E. Davoust (1995) Călătorul interstelar, Am. J Phys. 63 :221-227