Variabile conjugate

Variabilele adiacente sunt perechi de variabile care sunt legate matematic între ele prin transformarea Fourier . [1] [2] sau, în general vorbind, prin intermediul dualității Pontryagin . Relația de dualitate duce în mod natural la o relație de incertitudine – numită principiul incertitudinii Heisenberg în fizică – între ele. În termeni matematici, variabilele conjugate fac parte din baza simplectică , iar relația de incertitudine corespunde formei simplectice . În plus, variabilele adiacente sunt legate folosind teorema lui Noether , care afirmă că, dacă proprietățile unui sistem fizic închis sunt invariante la o modificare a uneia dintre variabilele adiacente, atunci cealaltă variabilă adjunctă din acel sistem fizic este conservată în timp.

Exemple

Există multe tipuri de variabile conjugate canonic:

• Timp și frecvență : cu cât o notă muzicală persistă mai mult, cu atât mai precis îi cunoaștem frecvența, dar durează mai mult și, prin urmare, este un eveniment mai distribuit. În schimb, o notă muzicală foarte scurtă este mai localizată în timp, dar frecvența ei nu poate fi determinată foarte precis (devine doar un clic). [3]
• Efectul Doppler : cu cât cunoaștem mai precis distanța până la țintă, cu atât mai puțin exact știm viteza de apropiere sau de îndepărtare a acesteia și invers. În acest caz, funcția bidimensională a timpului și frecvenței este cunoscută sub numele de funcție de incertitudine radar sau „diagrama de incertitudine radar”.
• Energia de suprafață: γ  d A ( γ = Tensiune superficială ; A = suprafață).
• Extensie elastică: F  d L ( F = forță elastică; L lungime extensie).

Acțiuni derivate

În fizica clasică , acțiunile derivate sunt variabile conjugate cu o valoare în raport cu care se realizează diferențierea. În mecanica cuantică, aceleași perechi de variabile sunt conectate prin principiul incertitudinii lui Heisenberg .

• „ Energia ” unei particule la un anumit eveniment este derivata negativă a acțiunii de-a lungul traiectoriei acelei particule, care se termină la acel eveniment, în raport cu „ timpul ” evenimentului.
• „ Momentul ” unei particule este derivata acțiunii sale în raport cu „ poziția ” sa.
• „ Momentul unghiular ” al unei particule este derivata acțiunii sale în raport cu „poziția sa unghiulară”.
• „Momentul de masă” ( ) al unei particule este derivata negativă a acțiunii sale în raport cu „ viteza ” sa.
• „ Potențialul electric ” ( , tensiunea electrică ) la un eveniment este derivata negativă a acțiunii câmpului electromagnetic în raport cu densitatea „ sarcinii electrice ” (libere) la acel eveniment.
• „ Potențialul vector al câmpului electromagnetic ” („A”’) la un eveniment este derivata acțiunii câmpului electromagnetic în raport cu densitatea „ curentului electric ” (liber) la acel eveniment.
• „ Câmpul electric ” (“E”) la un eveniment este derivata acțiunii câmpului electromagnetic în raport cu „ polarizarea ” dielectricului la acel eveniment.
• „ Inducția magnetică ” („B”) a unui eveniment este derivata acțiunii câmpului electromagnetic în raport cu „ magnetizarea ” acelui eveniment.
• „ Potențialul gravitațional ” newtonian la un eveniment este valoarea negativă a derivatei acțiunii câmpului gravitațional newtonian în raport cu „ densitatea de masă ” la acel eveniment.

Mecanica cuantică

În mecanica cuantică , variabilele conjugate sunt realizate ca perechi de observabile ai căror operatori nu fac naveta. În terminologia convențională ele sunt numite „observabile incompatibile”. Luați în considerare, ca exemplu, mărimile măsurabile date de coordonată și impuls . În formalismul mecanic cuantic, două observabile și corespund operatorilor și , care satisfac în mod necesar relația de comutație canonică :

[ X ^ , p ^ ] = X ^ p ^ − p ^ X ^ = i ℏ {\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar }

Pentru fiecare comutator diferit de zero a doi operatori, există un „principiu de incertitudine”, care în exemplul nostru de față poate fi exprimat astfel:

Δ X Δ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}

În această notație neclară , și denotă "incertitudine" în specificația simultană și . O declarație mai precisă și mai completă din punct de vedere statistic, inclusiv abaterea standard , arată:

σ X σ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}

Mai general, pentru oricare două observabile și corespunzătoare operatorilor și , principiul incertitudinii generalizate este dat de:

σ A 2 σ B 2 ≥ ( unu 2 i ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ) 2 {\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}}

În conformitate cu acesta, se pot alege doi operatori, atribuindu-le fiecăruia o formă matematică astfel încât perechea să o satisfacă. Această alegere de operatori reflectă una dintre multele reprezentări echivalente (izomorfe) ale unei structuri algebrice fundamentale comune care descrie mecanica cuantică (algebra Heisenberg Lie , grupul corespunzător este numit grupul Heisenberg ).

Mecanica fluidelor

În mecanica fluidelor hamiltoniană și hidrodinamica cuantică, „ acțiunea ” în sine (sau „potențialul de viteză”) este variabila conjugată a „ densității ” (sau „ densității probabilității ” ).

Vezi și

• Coordonatele canonice

Note

1. ↑ Heisenberg - Mecanica cuantică, 1925-1927: Relațiile de incertitudine . Preluat la 10 mai 2022. Arhivat din original la 22 decembrie 2015. (nedefinit)
2. ↑ Câteva observații despre timp și energie ca variabile conjugate
3. ^ „The Chirplet Transform”, IEEE Transactions on Signal Processing, 43(11), noiembrie 1995, pp. 2745–2761 . Preluat la 10 mai 2022. Arhivat din original la 1 aprilie 2022. (nedefinit)