Structura Hodge

O structură Hodge cu greutate , sau o structură Hodge pură , este un obiect format dintr-o rețea într-un spațiu vectorial real și o descompunere , unde , a unui spațiu vectorial complex , care se numește descompunerea Hodge . În acest caz, trebuie îndeplinită condiția , unde este complexul conjugat în . $n$ $H_{\mathbb{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ $H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q)$ $n=p+q$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}=H^{{q,\;p}}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

În caz contrar, descompunerea Hodge poate fi descrisă folosind conceptul de filtrare descrescătoare sau filtrare Hodge , astfel încât atunci când . Apoi subspațiile sunt restaurate prin formula . $F^{r}=\bigoplus _{{p\geqslant r}}H^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb {C} }$ ${\bar F}^{s}\cap F^{r}=0$ $r+s\neq n$ $H^{{p,\;q}}$ $H^{{p,\;q}}={\bar F}^{p}\cap F^{q}$

Această structură în spațiul coomologiei dimensionale a unei varietăți Kähler compacte a fost studiată pentru prima dată de W. Hodge [1] . $n$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $X$

În acest caz, subspațiile sunt descrise ca spații ale formelor armonice de tipul sau ca coomologii de snopi de forme diferențiale holomorfe [2] . $H^{{p,\;q}}$ $(p,\;q)$ $H^{q}(X,\;\Omega ^{p})$ $\Omega ^{p}$

Filtrarea Hodge în apare din filtrarea unui complex snop a cărui hipercoomologie dimensională este izomorfă prin subcomplexe de forma . $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\Omega =\sum _{{p\geqslant 0}}\Omega ^{p}$ $n$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\sum _{{r\geqslant p}}\Omega ^{r}$

Structură mixtă Hodge

Un concept mai general este o structură Hodge mixtă - acesta este un obiect constând dintr-o rețea în , filtrare crescândă sau filtrare a greutăților , în și filtrare descrescătoare (filtrare Hodge) , astfel încât pe spațiul de filtrare și să determine structura Hodge pură a greutăți . $H_{\mathbb{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ $W_{n}$ $H_{\mathbb{Q} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{Q}$ $F^{p}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ $(W_{n}/W_{n+1})\otimes \mathbb {C}$ $F^{p}$ ${\bar F}^{p}$ $n$

P. Deligne în lucrarea sa [ 3] a considerat structurile Hodge mixte în coomologia unei varietăți algebrice complexe (nu neapărat compacte sau netede ) ca un analog al structurii modulului Galois în coomologia étale .

Structurile Hodge au aplicații importante în geometria algebrică în teoria mapărilor perioadelor și în teoria singularităților mapărilor netede [4] .

Note

↑ Teoria Hodge WVD Tho și aplicațiile integralelor armonice. — 2 ed. — Cambridge, 1952.
↑ Griffiths, F., Harris, J. Principles of Algebraic Geometry / Per. din engleza. - M . : Mir, 1982. - T. 1. - 518 p.
↑ Deligne P. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, 1974). - 1975. - v. 1. - p. 70-85.
↑ Varchenko A. N. Probleme moderne de matematică. - vol. 22. - M., 1983. - p. 66-130. - (Rezultatele științei și tehnologiei).