O structură Hodge cu greutate , sau o structură Hodge pură , este un obiect format dintr-o rețea într-un spațiu vectorial real și o descompunere , unde , a unui spațiu vectorial complex , care se numește descompunerea Hodge . În acest caz, trebuie îndeplinită condiția , unde este complexul conjugat în .
În caz contrar, descompunerea Hodge poate fi descrisă folosind conceptul de filtrare descrescătoare sau filtrare Hodge , astfel încât atunci când . Apoi subspațiile sunt restaurate prin formula .
Această structură în spațiul coomologiei dimensionale a unei varietăți Kähler compacte a fost studiată pentru prima dată de W. Hodge [1] .
În acest caz, subspațiile sunt descrise ca spații ale formelor armonice de tipul sau ca coomologii de snopi de forme diferențiale holomorfe [2] .
Filtrarea Hodge în apare din filtrarea unui complex snop a cărui hipercoomologie dimensională este izomorfă prin subcomplexe de forma .
Un concept mai general este o structură Hodge mixtă - acesta este un obiect constând dintr-o rețea în , filtrare crescândă sau filtrare a greutăților , în și filtrare descrescătoare (filtrare Hodge) , astfel încât pe spațiul de filtrare și să determine structura Hodge pură a greutăți .
P. Deligne în lucrarea sa [ 3] a considerat structurile Hodge mixte în coomologia unei varietăți algebrice complexe (nu neapărat compacte sau netede ) ca un analog al structurii modulului Galois în coomologia étale .
Structurile Hodge au aplicații importante în geometria algebrică în teoria mapărilor perioadelor și în teoria singularităților mapărilor netede [4] .