Sumă (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Suma ( lat. summa - total, total) în matematică - rezultatul aplicării operației de adunare a cantităților ( numere , funcții , vectori , matrice etc. ), sau rezultat al efectuării secvențiale a mai multor operații de adunare (sumare). Comun tuturor cazurilor sunt proprietățile comutativității , asociativității și, de asemenea, distributivității în ceea ce privește înmulțirea (dacă înmulțirea este definită pentru mărimile luate în considerare), adică îndeplinirea relațiilor:

a+b=b+a,

a+(b+c)=(a+b)+c,

(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,

c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b,

În teoria mulțimilor, o sumă (sau unire) de mulțimi este o mulțime ale cărei elemente sunt toate elementele mulțimilor combinate, luate fără repetare.

De asemenea, adunarea (găsirea sumei) poate fi definită pentru structuri algebrice mai complexe (suma de grupuri , suma spațiilor liniare , suma idealurilor și alte exemple). În teoria categoriilor este definit conceptul de sumă a obiectelor.

Suma numerelor naturale

Fie ca mulțimea să conțină elemente care formează o submulțime și elemente care formează o submulțime ( , a și b sunt numere naturale). Atunci suma aritmetică va fi numărul de elemente care formează submulțimea obținută prin unirea disjunctivă a celor două submulțimi originale. $\mathbb {N}$ $A$ $A$ $b$ $B$ $A\subset \mathbb {N} , B\subset \mathbb {N}$ $a+b$ $c$ $C\subset \mathbb {N}$ $C=A\sqcup B.$

Sumă algebrică

Suma este notată matematic cu litera greacă mare Σ (sigma) .

\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n- 1}+a_{n}

unde: i — indicele de însumare; a i este o variabilă care denotă fiecare membru al seriei; m este limita inferioară a însumării, n este limita superioară a însumării. Notația „i = m” sub simbolul de însumare înseamnă că valoarea inițială (de pornire) a indicelui i este echivalentă cu m . Din această notație rezultă că indicele i este incrementat cu 1 în fiecare termen al expresiei și se va opri când i = n . [unu]

În programare, această procedură corespunde unei bucle for .

Exemple de înregistrare

\sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+{...}+99+100

\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86

Limitele pot fi omise din intrare dacă sunt clare din context:

\sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.

Un iterator poate fi o expresie - apoi variabila este formatată cu paranteze ca o funcție " ". De exemplu, suma tuturor cu numere naturale într-un anumit interval: $f()$ $f(k)$ $k$

\sum _{0\leq k<100}f(k).

Suma elementelor multimii : $f(x)$ $X$ $S$

\sum _{x\mathop {\in } S}f(x).

Suma tuturor numerelor pozitive care sunt divizori ai unui număr : $\mu (d)$ $d$ $n$

\sum _{d|n}\;\mu (d).

Mai mulți indici pot fi utilizați sub semnul de însumare iterativă, de exemplu:

\sum _{i,j}=\sum _{i}\sum _{j},

în plus, un set de mai mulți indici poate fi redus sub forma unui așa-numit multi -index .

Sumă infinită

În analiza matematică, este definit conceptul de serie - suma unui număr infinit de termeni.

Exemple de sume consecutive

1. Suma unei progresii aritmetice :

\sum _{{i=0}}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

2. Suma unei progresii geometrice :

\sum _{{i=0}}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{{n+1}}}{1 -b}}

3. $\sum \limits _{{k=1}}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}=\left (\sum \limits _{{k=1}}^{n}k\right)^{2}$

patru. $\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\ stânga(1-{\frac {1}{p^{{n+1))))\dreapta),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Dovada

\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{{i=0}}^{n }{1\cdot {{\frac {1}{p^{i))))}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p))\right)} ^{{n+1}}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {{\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{{ n+1}}}}}{{\frac {p-1}{p}}}}={\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{n}(p-1 )}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{{n+1}}}}\dreapta)

5. $\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p }{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Dovada

\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}=\sum _{{i=1}}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{{i= 1}}^{n}ip^{{i-1}}=p\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}(i+1)p^{i}=p \cdot \left(\sum _{{i=0}}^{{n-1}}{ip^{i}}+\sum _{{i=0}}^{{n-1}}p ^{i}\right)=p\cdot \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p ^{n}}{1-p}}\Rightarrow

\Rightarrow (1-p)\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{{n+1}}(1-p)+pp^{ {n+1}}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}

6. $\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{ i})+n+1,\quad p\neq 1$

Dovada

(p-1)\sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\sum _{{i= 0}}^{n}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{{i=0}}^{n}p^{ i}-\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}\right)+n+1=

=(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{{n+1}}}{1-p}}-{\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}\dreapta)+n+1=

={\frac {np^{{n+2}}-np-np^{{n+1}}+n-np^{{n+2}}+np^{{n+1}}+p ^{{n+1}}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=

={\frac {p^{{n+1}}-1}{p-1}}=\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}

De exemplu, când se dovedește , și aceasta este o succesiune de egalități de următoarea formă:

p=10

\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)10^{i} )+n+1

1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234 +5

Sumă nedeterminată

O sumă nedefinită peste este o astfel de funcție , notată cu , care . $a_{i}$ $i$ $f(i)$ $\sum _{{i}}^{{}}a_{i}$ $\forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i}$

Formula „discretă” Newton-Leibniz

Dacă se găsește „derivată” , atunci . $a_{i}=f(i+1)-f(i)$ $\sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a)$

Etimologie

Cuvântul latin summa este tradus ca „punct principal”, „esență”, „total”. Din secolul al XV-lea, cuvântul începe să fie folosit în sensul modern și apare și verbul „a rezuma” (1489).

Acest cuvânt a pătruns în multe limbi moderne: sum în rusă, sum în engleză, somme în franceză.

Simbolul special pentru desemnarea sumei ( Σ ) a fost introdus pentru prima dată de Leonhard Euler în 1755, a fost susținut de Lagrange , dar multă vreme semnul S a concurat cu acest simbol.Desemnarea Σ pentru sumă a fost în cele din urmă aprobată deja în al XVIII-lea de Fourier și Jacobi [2] .

Codificare

Unicode are simbolul sumei U+2211 ∑ însumare n-ară (HTML ∑ • ∑).

Vezi și

Plus
Muncă

Note

↑ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Capitolul 2: Sume // Matematică concretă: o bază pentru informatică (ediția a II-a ) . - Addison-Wesley Professional , 1994. - ISBN 978-0201558029 . (link indisponibil)
↑ Alexandrova N. V. Istoria termenilor matematici, concepte, notație: Dicționar-carte de referință . - Ed. a 3-a. - Sankt Petersburg. : LKI, 2008. - S. 175 . — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Literatură

Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - al 7-lea. - M. : Nauka, 1969. - T. 1. - 608 p. — 100.000 de exemplare.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4193845-8