Suma Gauss

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 iunie 2020; verificările necesită 2 modificări .

În matematică , suma Gauss este înțeleasă ca un anumit fel de sume finite de rădăcini din unitate , de regulă, scrise sub forma

G(\chi):=G(\chi,\psi)=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)

Aici suma este preluată peste toate elementele r ale unui inel comutativ finit R , ψ( r ) este homomorfismul grupului aditiv R + în cercul unitar , iar χ( r ) este homomorfismul grupului de unități R × în cercul unitar extins cu 0. Sumele Gauss sunt analoge cu funcțiile Gamma pentru cazul câmpurilor finite .

Aceste sume apar adesea în teoria numerelor , în special în ecuațiile funcționale ale funcțiilor L Dirichlet .

Carl Friedrich Gauss a folosit proprietățile sumelor pentru a rezolva unele probleme din teoria numerelor, în special le-a aplicat într-una dintre dovezile legii pătratice a reciprocității . Inițial, sumele Gauss au fost înțelese ca sume Gauss pătratice , pentru care R este câmpul de reziduuri modulo p și χ este simbolul Legendre . Pentru acest caz, Gauss a arătat că G (χ) = p 1/2 sau ip 1/2 atunci când p este congruent cu 1 sau 3 modulo 4, respectiv.

O formă alternativă de scriere a sumei Gauss:

\sum e^{\frac {2\pi ir^{2}}{p}}

Teoria generală a sumelor Gauss a fost dezvoltată la începutul secolului al XIX-lea folosind sumele Jacobi și factorizările lor prime în câmpuri circulare .

Semnificația sumelor Gauss pentru teoria numerelor a fost dezvăluită abia în anii 1920. În acest moment, Hermann Weyl a aplicat sume trigonometrice mai generale pentru studiul distribuțiilor uniforme , numite mai târziu sume Weyl. În același timp, I. M. Vinogradov a folosit sume Gauss pentru a obține o estimare superioară pentru cel mai puțin patratic nerezidu modulo p. Sumele Gauss fac posibilă stabilirea unei legături între două obiecte importante ale teoriei numerelor: caracterele multiplicative și aditive. Sumele Gauss pătratice sunt strâns legate de teoria funcțiilor θ .

Valoarea absolută a sumelor Gauss este de obicei găsită folosind teorema lui Plancherel pentru grupuri finite . În cazul în care R este un câmp de p elemente și χ este netrivial, valoarea absolută este egală cu p 1/2 . Calcularea valorii exacte a sumelor totale Gauss nu este o sarcină ușoară.

Proprietățile sumelor Gauss pentru caracterul Dirichlet

Suma Gauss pentru caracterul Dirichlet modulo N

G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.

Dacă χ este primitiv atunci

|G(\chi )|={\sqrt {N)),

și, în special, nu este egal cu zero. Mai general, dacă N 0 este un conductor al unui caracter χ și χ 0 este un caracter Dirichlet primitiv modulo N 0 care induce χ, atunci

G(\chi )=\mu (N/N_{0})\chi _{0}(N/N_{0})G(\chi _{0})

unde μ este funcția Möbius .

Rezultă din aceasta că G (χ) este diferit de zero dacă și numai dacă N / N 0 este pătrat liber și relativ prim pentru N 0 .

Relatia

G({\overline {\chi )))=\chi (-1) {\overline {G(\chi ))),

unde χ este conjugarea complexă a caracterului Dirichlet.

Dacă χ′ este un caracter Dirichlet modulo N ′ astfel încât N și N ′ sunt coprimi, atunci

G(\chi \chi ^{\prime })=\chi (N^{\prime })\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G(\chi ^{\prime } ).

Vezi și

Teorema Chole–Mordell
Suma eliptică a lui Gauss

Literatură

Berndt, BC; Evans, RJ; Williams, K.S. Gauss și Jacobi Sums. - Wiley, 1998. - (Seria de monografii și texte avansate ale Societății de Matematică din Canada). - ISBN 0-471-12807-4 .
Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael. O introducere clasică în teoria modernă a numerelor . — al 2-lea. - Springer-Verlag , 1990. - Vol. 84. - ( Texte de absolvent de matematică ). — ISBN 0-387-97329-X .
Secțiunea 3.4 din Iwaniec, Henryk & Kowalski, Emmanuel (2004), Teoria analitică a numărului , voi. 53, American Mathematical Society Colocvium Publications, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3633-0
Artin E., Tate J., Teoria câmpului de clasă, NY-Amst., 1967;

Ediții în limba rusă

Irlanda K., Rosen M. O introducere clasică în teoria numerelor moderne.
Carl Friedrich Gauss. sat. articole, M., 1956;
Vinogradov I. M. Metoda sumelor trigonometrice în teoria numerelor, M., 1971;
Davenport G. Teoria numerelor multiplicative, trad. din engleză, M., 1971;
Prahar K. Distribuția numerelor prime , trad. din germană, M., 1967;
Hasse G. Prelegeri despre teoria numerelor, trad. din germană, M., 1953.

Personaj Jig

Teoria numerelor algebrice, trad. din engleză, M., 1969;
Serre J.-P. Reprezentări l-adice abeliene și curbe eliptice , trad. din engleză, M., 1973.