Mecanica cuantică supersimetrică

În fizica teoretică , mecanica cuantică supersimetrică este un domeniu de studiu în care conceptele matematice din domeniul fizicii de înaltă energie sunt aplicate în domeniul mecanicii cuantice . Supersimetria, care este înțeleasă ca transformarea de la operatori bosonici la fermionici și invers, combină transformări continue (bosonice) și discrete (fermionice). În teoria modernă, bosonii sunt asociați cu purtători de interacțiune, iar fermionii cu materia, dar supersimetria a reușit să combine aceste două concepte. Supersimetria s-a dovedit, de asemenea, utilă pentru a trata divergențele în teoria cuantică a câmpurilor, ceea ce a condus la interesul pentru această teorie [1] .

Introducere

Este dificil din punct de vedere matematic să se demonstreze consecințele supersimetriei și, de asemenea, este dificil să se dezvolte o teorie care ar putea demonstra ruperea simetriei, adică absența partenerilor observabili ai particulelor de masă egală. Pentru a face progrese în aceste probleme, fizicienii au dezvoltat mecanica cuantică supersimetrică , adică teoria aplicării superalgebrei supersimetrice la mecanica cuantică , spre deosebire de teoria câmpului cuantic . Se speră că studiul implicațiilor supersimetriei în acest cadru simplu va conduce la noi perspective; este de remarcat faptul că progresele însoțitoare au dus la crearea de noi linii de cercetare în mecanica cuantică în sine.

De exemplu, elevii sunt de obicei învățați să „rezolve” atomul de hidrogen ca un proces laborios care începe prin încorporarea potențialului Coulomb în ecuația Schrödinger . După o cantitate considerabilă de muncă folosind multe ecuații diferențiale, relațiile de recurență pentru polinoamele Laguerre sunt obținute prin analiză . Rezultatul final este spectrul : stările energetice ale atomului de hidrogen (notate cu numerele cuantice n și l ). Cu ideile culese din supersimetrie, rezultatul final poate fi obținut la un cost mult mai mic, aproape în același mod ca și în cazul metodei operatorului pentru rezolvarea oscilatorului armonic . [2] O abordare supersimetrică similară poate fi utilizată pentru a găsi mai precis spectrul hidrogenului folosind ecuațiile Dirac. [3] În mod ironic, această abordare este similară cu modul în care Erwin Schrödinger a folosit pentru prima dată atomul de hidrogen . [4] [5] Desigur, el nu și-a numit soluția supersimetrică, deoarece teoria supersimetriei însăși a apărut treizeci de ani mai târziu.

Soluția supersimetrică a atomului de hidrogen este doar un exemplu de clasă foarte generală de soluții: potențiale de formă invariantă . potențiale invariante de formă . Această categorie include majoritatea potențialelor predate în cursurile introductive de mecanică cuantică.

Mecanica cuantică supersimetrică implică perechi de hamiltonieni între care există relații matematice specifice. Se numesc hamiltonieni parteneri . Hamiltonieni parteneri . Atunci potențialele corespunzătoare din hamiltonieni se numesc potențiale partenere . potențialele de partener ). Teorema principală arată că pentru toate stările proprii ale unui hamiltonian, partenerul său hamiltonian are stări proprii corespunzătoare cu aceeași energie (cu posibila excepție a stărilor proprii cu energie zero . Acest fapt poate fi folosit pentru a obține multe proprietăți ale spectrului stărilor proprii. Acest lucru este analog la descrierea inițială a supersimetriei, care se referă la bosoni și fermioni. Ne putem imagina un „Hamiltonian bosonic”, ale cărui stări sunt bosoni diferiți din teoria noastră. Partenerul supersimetric al acestui Hamiltonian va fi „Fermion”, iar stările sale proprii vor descrie fermionii. Fiecare boson corespunde unui partener fermionic de energie egală - dar, într-o lume relativistă, energia și masa sunt interschimbabile, așa că putem spune pur și simplu că particulele partenere au mase egale.

Conceptul de supersimetrie oferă extensii utile aproximării WKB , sub forma unei versiuni modificate a condiției de cuantizare Bohr-Sommerfeld. În plus, supersimetria este aplicată în mecanica statistică non-cuantică folosind ecuația Fokker-Planck . Acest exemplu arată că, chiar dacă ideea originală din fizica particulelor duce la o fundătură, explorarea sa în alte domenii ne-a extins înțelegerea.

Exemplu: oscilator armonic

Ecuația Schrödinger pentru un oscilator armonic ia forma

H^{HO}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{ dx^{2))}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{ HO}\psi _{n}(x),

unde este al treilea nivel cu energie . Vrem să găsim o expresie pentru în funcție de . Să definim operatorii $\psi _{n}(x)$ $n$ $H^{HO}$ $E_{n}^{HO}$ $E_{n}^{HO}$ $n$

A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)

și

A^{\dagger }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m)}}{\frac {d}{dx}}+W(x),

unde , pe care trebuie să-l alegem noi înșine, se numește superpotențial . Să definim partenerii hamiltonieni și cum $W(x)$ $H^{HO}$ $H^{(1)}$ $H^{(2)}$

H^{(1)}=A^{\dagger }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 ))}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)

H^{(2)}=AA^{\dagger }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2} ))+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).

Starea fundamentală cu energie zero de la va satisface ecuația $\psi _{0}^{(1)}(x)$ $H^{(1)}$

H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A ^{\pumnal }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}{\frac {d}{dx))+W(x){\bigg )}\psi _{0 }^{(1)}(x)=0.

Presupunând că cunoaștem starea fundamentală a oscilatorului armonic, găsim ca $\psi _{0}(x)$ $W(x)$

W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m)}}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\ psi _{0}(x)}}{\bigg )}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}

Apoi găsim că

H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}

H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.

Acum putem vedea asta

H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{HO}-{\frac {\hbar \omega {2)).

Acesta este un caz special de invarianță de formă, care este discutat mai jos. Acceptând teorema principală fără demonstrație, este evident că spectrul începe cu și crește în continuare în trepte Spectre și va avea aceleași intervale egale, dar va fi deplasat cu și respectiv . Rezultă că spectrul ia forma familiară . $H^{(1)}$ $E_{0}=0$ $\hbar \omega .$ $H^{(2)}$ $H^{HO}$ $\hbar \omega$ $\hbar \omega/2$ $H^{HO}$ $E_{n}^{HO}=\hbar \omega (n+1/2)$

Superalgebra mecanicii cuantice supersimetrice

În mecanica cuantică obișnuită, aflăm că algebra operatorilor este determinată de relațiile de comutație dintre acești operatori. De exemplu, operatorii canonici de poziție și impuls au un comutator . (Aici, folosim „ unități naturale ”, unde constanta lui Planck este setată la 1.) Un caz mai complex este algebra operatorilor de moment unghiular ; aceste mărimi sunt strâns legate de simetria rotațională în spațiul tridimensional. Generalizând acest concept, definim un anticomutator care definește relația operatorilor, la fel ca un comutator obișnuit, dar cu semnul opus: $[x,p]=i$

\{A,B\}=AB+BA.

Dacă operatorii sunt conectați atât prin anticomutatori, cât și prin comutatoare, spunem că aceștia fac parte dintr- o superalgebră Lie . Să presupunem că avem un sistem cuantic descris de un hamiltonian și un set de operatori . Vom numi acest sistem supersimetric dacă următoarele relații de anticomutație sunt valabile pentru toți : ${\mathcal {H}}$ $N$ $Q_{i}$ $i,j=1,\ldots,N$

Dacă da, atunci numim supraalimentări ale sistemului. $Q_{i}$

Exemplu

Luați în considerare un exemplu de particulă nerelativistă unidimensională cu 2 ( adică două stări) grade interne de libertate și numiți-le „spin” (acesta nu este tocmai spin, deoarece spinul real este o proprietate a unei particule 3D). Să fie operatorul care convertește „spin-up” al particulei în „spin-down”. Operatorul său adjunct transformă particula de spin-down într-o stare de spin-up. Operatorii sunt normalizați în așa fel încât anticomutatorul . Și bineînțeles, . Fie impulsul particulei și coordonatele sale cu . Fie (superpotențial) o funcție analitică complexă arbitrară care definește operatori supersimetrici $b$ $b^{\dagger }$ $\{b,b^{\dagger }\}=1$ $b^{2}=0$ $p$ $X$ $[x,p]=i$ $W$ $X$

Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]

Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]

Rețineți că și sunt auto-ajutoare. Lasă Hamiltonianul $Q_1$ $Q_{2}$

H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2 }}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^ {\dagger }-b^{\dagger }b)

unde W' este derivata lui W . De asemenea, rețineți că { Q 1 ,Q 2 }=0. Aceasta nu este altceva decât N = 2 supersimetrie. Rețineți că acționează ca un potențial vectorial electromagnetic . $\Im \{W\)$

Să numim, de asemenea, starea de spin-down „bosonică” și starea de spin-up „fermionică”. Aceasta este doar o analogie cu teoria câmpului cuantic și nu ar trebui luată la propriu. Apoi, Q 1 și Q 2 mapează stările „bosonice” cu cele „fermionice” și invers.

Să reformulăm puțin:

defini

Q=(p-iW)b

și, desigur,

Q^{\dagger }=(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }

\{Q,Q\}=\{Q^{\dagger },Q^{\dagger }\}=0

și

\{Q^{\dagger},Q\}=2H

Un operator este „bosonic” dacă duce stările „bosonice” la stările „bosonice” și stările „fermionice” la stările „fermionice”. Operatorul este „fermionic” dacă traduce stările „bosonice” în stări „fermionice” și invers. Orice operator poate fi exprimat în mod unic ca suma operatorilor bosonici și fermionici. Definim un supercomutator [,} astfel: între doi operatori bosonici sau un operator bosonic și un operator fermionic, nu este altceva decât un comutator , dar între doi operatori fermionici, este un anticomutator .

Atunci, x și p sunt operatori bosonici și b , , Q sunt operatori fermionici. $b^{\dagger }$ $Q^{\dagger }$

În notația Heisenberg, x , b și sunt funcții ale timpului $b^{\dagger }$

și

[Q,x\}=-ib

[Q,b\}=0

[Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}

[Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }

[Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}

[Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0

Aceste expresii sunt în general neliniare: adică x (t), b (t) și nu formează o reprezentare liniară supersimetrică deoarece nu sunt neapărat liniare în x . Pentru a evita această problemă, definim un operator auto-adjunct . Apoi, $b^{\dagger }(t)$ $\Re\{W\)$ $F=\Re \{W\}$

[Q,x\}=-ib

[Q,b\}=0

[Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-iF

[Q,F\}=-{\frac {db}{dt)}

[Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }

[Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+iF

[Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0

[Q^{\dagger },F\}={\frac {db^{\dagger }}{dt}}

avem o reprezentare liniară a supersimetriei.

Acum să introducem două mărimi „formale”: și , unde ultima este conjugatul primei astfel încât $\theta$ ${\bar {\theta })$

\{\theta,\theta \}=\({\bar {\theta )),{\bar {\theta ))\}=\({\bar {\theta )),\theta \} =0

și amândoi fac naveta cu operatori bosonici, dar anticomută cu cei fermionici.

În continuare, definim noțiunea de supercâmp:

f(t,{\bar {\theta )),\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t )+{\bar {\theta }}\theta F(t)

f este un operator auto-adjunct. Apoi,

[Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}fi{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,

[Q^{\dagger},f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }})fi\theta {\frac {\partial }{\partial t} } f.

Apropo, există și o simetrie U(1) R , unde p , x , W au zero R-sarcina, în timp ce R-sarcina este 1 și R-sarcina lui b este -1. $b^{\dagger }$

Forma invariantă

Presupune real pentru toate reale . Apoi putem simplifica expresia pentru Hamiltonian la $W$ $X$

H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}} (bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)

Există anumite clase de superpotenţiale, astfel încât Hamiltonienii bosonici şi fermionici au forme similare. Specific

V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})

unde sunt parametrii. De exemplu, potențialul unui atom de hidrogen, cu moment unghiular , poate fi scris $A$ $l$

{\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+ 1 )}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}

Aceasta corespunde superpotențialului $V_{-}$

W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)))-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}

V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2 }(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2} h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}

Acesta este potențialul pentru momentul unghiular deplasat cu o constantă. După rezolvarea stării fundamentale, operatori supersimetrici pot fi utilizați pentru a construi restul stărilor cuplate ale spectrului. $l+1$ $l=0$

În general, deoarece și sunt potențiali parteneri, aceștia au același spectru energetic, cu excepția unei singure stări fundamentale. Putem continua acest proces de găsire a potențialelor partenere cu condiția invarianței formei, prin intermediul următoarei formule pentru nivelurile de energie în funcție de parametrii potențialului $V_{-}$ ${\displaystyle V_{+))$

E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})

unde sunt parametrii pentru mai multe potențiale de parteneri. $a_{i}$

Note

↑ L. E. Gendenshtein , I. V. Krive. Supersimetria în mecanica cuantică // UFN. - 1985. - T. 146 . - S. 553-590 .
↑ Valance, A.; Morgan, TJ & Bergeron, H. (1990), Eigensolution of the Coulomb Hamiltonian via supersymmetry , American Journal of Physics (AAPT) . — V. 58(5): 487–491, doi : 10.1119/1.16452 , < http://link.aip.org/link/?AJP/58/487/1 > Arhivat din original la 24 februarie 2013.
↑ Taller, B. (1992). Ecuații Dirac. Texte și monografii despre fizică. Springer.
↑ Schrödinger, Erwin (1940), A Method of Determining Quantum-Mechanical Eigenvalues y Eigenfunctions, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy). — T. 46: 9–16
↑ Schrödinger, Erwin (1941), Further Studies on Solving Eigenvalue Problems by Factorization, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy). - T. 46: 183-206