Forma volumului

O formă de volum este o formă diferențială de dimensiuni superioare pe o varietate netedă (adică o formă - pe o varietate -dimensională) care nu dispare în niciun punct. $n$ $n$

Forma de volum ne permite să definim integrala unei funcții peste o varietate. Cu alte cuvinte, forma volumului definește măsura în care funcțiile pot fi integrate.

Proprietăți

O varietate netedă admite o formă de volum dacă și numai dacă este orientabilă.
Pe o varietate cu formă de volum , divergența unui câmp vectorial poate fi definită folosind următoarele identități: $\omega$ $X$ $(\operatorname {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$

unde denotă derivata Lie în raport cu , este diferența exterioară a lui , și este operația de substituție în .

{\mathcal {L}}_{X}

X

d

X\;\lrcorner \;\omega

X

\omega

Exemple

Pe orice grup Lie, o alegere naturală a formei de volum se obține din forma la unitate prin deplasări la dreapta (sau la stânga). Astfel de forme se numesc invariante la dreapta și la stânga. În consecință, fiecare grup Lie este orientabil. Măsura corespunzătoare se numește măsura Haar .

O varietate simplectică de dimensiuni are o formă naturală de volum . $(M,\omega )$ $2{\cdot }n$ $\omega ^{{\wedge n}}$

Orice varietate pseudo-riemanniană orientată (inclusiv riemannian ) are o formă naturală de volum, care în coordonate locale poate fi exprimată ca $\omega ={\sqrt {|g|}}\cdot dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$

unde este valoarea absolută a determinantului matricei de reprezentare a tensorului metric .

|g|

Forma volumului

Proprietăți

Exemple

Literatură