Probleme Hilbert

Problemele lui Hilbert  este o listă de 23 de probleme cardinale de matematică prezentată de David Hilbert la cel de-al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor de la Paris , în 1900. O listă completă de 23 de probleme a fost publicată mai târziu, în special într-o traducere în engleză din 1902 de Mary Francis Winston Newson în Buletinul Societății Americane de Matematică [1] . Apoi aceste probleme (care acoperă bazele de matematică, algebră , teoria numerelor , geometrie , topologie , geometrie algebrică, grupuri de Lie , analiză reală și complexă, ecuații diferențiale, fizica matematică și teoria probabilităților , precum și calculul variațiilor ) nu au fost rezolvate. Unii dintre ei au avut o mare influență asupra matematicii secolului al XX-lea.

Momentan au fost rezolvate 16 probleme din 23. Alte doua nu sunt probleme matematice corecte (una este formulata prea vag pentru a intelege daca a fost rezolvata sau nu, cealalta, departe de a fi rezolvata, este fizica, nu matematica) . Din cele cinci probleme rămase, două nu sunt rezolvate deloc, iar trei sunt rezolvate doar pentru unele cazuri.

Din 1900, matematicienii și organizațiile matematice au publicat liste de probleme, dar, cu rare excepții, aceste colecții nu au avut aproape același impact sau au produs la fel de multă muncă ca problemele lui Hilbert. O excepție este reprezentată de trei ipoteze prezentate de André Weil la sfârșitul anilor 1940 ( ipotezele Weyl ). Pal Erdős a alcătuit o listă de sute, dacă nu mii de probleme de matematică, multe dintre ele profunde. Erdős oferea adesea recompense în numerar; valoarea remunerației depindea de complexitatea așteptată a sarcinii.

Lista problemelor

Nu.	stare	Formulare scurtă	Rezultat	Anul deciziei
unu	rezolvat [2]	Problema lui Cantor despre puterea continuumului ( ipoteza continuumului )	Problema este dovedit a fi indecidabilă în ZFC . Nu există un consens dacă aceasta este o soluție la problemă.	1940, 1963
2	fără consens [3]	Consistența axiomelor aritmeticii .	Necesită clarificarea textului
3	rezolvat	Echivalența poliedrelor cu arii egale	Infirmat	1900
patru	prea vagi	Enumerați valorile în care liniile sunt geodezice[ clarifica ]	Necesită clarificarea formulării [4]
5	rezolvat	Toate grupurile continue sunt grupuri de minciuni ?	da	1953
6	parțial rezolvat [5]	Studiu matematic al axiomelor fizicii	Depinde de interpretarea enunțului original al problemei [6]
7	rezolvat	Este numărul transcendent (sau cel puțin irațional ) [7]	da	1934
opt	nu s-a rezolvat, dar există progres [8]	Problema numerelor prime ( ipoteza Riemann și problema Goldbach )	Conjectura ternară Goldbach a fost demonstrată [9] [10] [11] [12] .
9	parțial rezolvat [13]	Dovada celei mai generale legi a reciprocității în orice domeniu numeric	Dovedit pentru cazul abelian
zece	rezolvat [14]	Există un algoritm universal pentru rezolvarea ecuațiilor diofantine ?	Nu	1970
unsprezece	parțial rezolvată	Studiul formelor pătratice cu coeficienți numerici algebrici arbitrari
12	nerezolvată	Extinderea teoremei Kronecker asupra câmpurilor abeliene la un domeniu algebric arbitrar al raționalității
13	rezolvat	Este posibil să se rezolve ecuația generală de gradul al șaptelea folosind funcții care depind doar de două variabile?	da	1957
paisprezece	rezolvat	Dovada generației finite a algebrei invarianților unui grup algebric liniar [15]	Infirmat	1959
cincisprezece	parțial rezolvată	Justificare riguroasă a geometriei enumerative a lui Schubert
16	parțial rezolvat [16]	Topologia curbelor și suprafețelor algebrice [17]
17	rezolvat	Anumite forme pot fi reprezentate ca o sumă de pătrate?	da	1927
optsprezece	rezolvat [18] [19]	Numărul grupelor cristalografice este finit ? (A) Există umpleri neregulate ale spațiului de către poliedre congruente? (b) Sunt pachetele hexagonale și cubice centrate pe fețe de bile cele mai dense? (c)	da da da	1911 (a) 1928 (b) 1998 (c)
19	rezolvat	Sunt soluțiile problemei variaționale regulate Lagrange întotdeauna analitice?	da	1957
douăzeci	rezolvat [20] [21] [22]	Toate problemele variaționale obișnuite cu anumite condiții la limită au soluții dacă, dacă este necesar, conceptului însuși de soluție i se oferă o interpretare extinsă?	da	1937-1962
21	rezolvat	Dovada existenței ecuațiilor diferențiale liniare cu un grup de monodrom dat	Dacă există sau nu, depinde de formulări mai precise ale problemei.	1992
22	parțial rezolvată	Uniformizarea dependențelor analitice folosind funcții automorfe
23	nu s-a rezolvat, dar există progres	Dezvoltarea metodelor de calcul al variațiilor	Necesită clarificarea textului

Problema 24

Inițial, lista conținea 24 de probleme, dar în procesul de pregătire a raportului, Hilbert a abandonat una dintre ele. Această problemă a fost legată de teoria demonstrației criteriului de primalitate și de metodele generale. Această problemă a fost descoperită în notele lui Hilbert de către istoricul german al științei Rüdiger Thiele în 2000 [23] .

Alte liste de probleme celebre

La exact o sută de ani de la anunțarea listei Hilbert, matematicianul american Stephen Smale a propus o nouă listă de probleme moderne nerezolvate (unele dintre ele au fost deja rezolvate). Problemele lui Smale nu au primit prea multă atenție din partea mass-media și nu este clar câtă atenție primesc din partea comunității matematice. Institutul de Matematică Clay și-a publicat lista . Fiecare număr de premii include un premiu de un milion de dolari. În 2008, Agenția pentru Proiecte de Cercetare Avansată a Departamentului de Apărare al SUA și-a anunțat propria listă cu 23 de probleme despre care spera că ar putea duce la descoperiri matematice majore, „întărind astfel capacitățile științifice și tehnologice ale Departamentului de Apărare al SUA ” [24] [25] .

Note

1. ↑ Hilbert, David. Probleme matematice  (engleză)  // Buletinul Societății Americane de Matematică  : jurnal. - 1902. - Vol. 8 , nr. 10 . - P. 437-479 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . Publicații anterioare (în originalul german) au apărut în Hilbert, David. Mathematische Probleme  (neopr.)  // Göttinger Nachrichten. - 1900. - S. 253-297 . și Hilbert, David. [fără titlu citat]  (neopr.)  // Archiv der Mathematik und Physik. - 1901. - T. 1, 3 . - S. 44-63, 213-237 .
2. ↑ Rezultatele lui Gödel și Cohen arată că nici ipoteza continuumului și nici negația acesteia nu contrazic sistemul de axiome Zermelo-Fraenkel (sistemul de axiome standard al teoriei mulțimilor). Astfel, ipoteza continuumului din acest sistem de axiome nu poate fi nici dovedită, nici respinsă (cu condiția ca acest sistem de axiome să fie consecvent).
3. ↑ Kurt Gödel a demonstrat că consistența axiomelor aritmeticii nu poate fi demonstrată din axiomele aritmeticii în sine. În 1936, Gerhard Gentzen a demonstrat consistența aritmeticii folosind aritmetica recursivă primitivă cu o axiomă suplimentară pentru inducția transfinită la ordinalul ε 0 .
4. ↑ Potrivit lui Rowe și Gray (vezi mai jos), majoritatea problemelor au fost rezolvate. Unele dintre ele nu au fost formulate suficient de precis, dar rezultatele obținute ne permit să le considerăm „rezolvate”. Rov și Gray vorbesc despre a patra problemă ca fiind una prea vagă pentru a judeca dacă a fost rezolvată sau nu.
5. ↑ L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894-1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), nr. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141 .
6. ↑ Mai mult decât atât, soluția problemei derivării dinamicii continuumului dintr-o descriere atomistică poate fi negativă: Marshall Slemrod, a șasea problemă a lui Hilbert și eșecul limitei Boltzmann la Euler, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi : 10.1098/rsta.2017.0222
7. ↑ Rezolvat de Siegel și Gelfond (și independent de Schneider) într-o formă mai generală: dacă a ≠ 0, 1 este un număr algebric și b  este un irațional algebric, atunci a b  este un număr transcendental
8. ↑ Problema #8 conține două probleme cunoscute, dintre care prima nu este deloc rezolvată, iar a doua este parțial rezolvată. Prima dintre acestea, Ipoteza Riemann , este una dintre cele șapte probleme ale mileniului care au fost etichetate ca „Probleme Hilbert” ale secolului XXI.
9. ↑ Terence Tao - Google+ - Zi aglomerată în teoria numerelor analitice; Harald Helfgott are ... Preluat la 21 iunie 2013. Arhivat din original la 8 august 2013. (nedefinit)
10. ↑ Arcuri majore pentru teorema lui Goldbach Arhivat la 29 iulie 2013 la Wayback Machine , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
11. ↑ Goldbach Variations Arhivat 16 decembrie 2013 pe blogurile Wayback Machine // SciAm , Evelyn Lamb, 15 mai 2013
12. ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Arhivat 23 iunie 2013 la Wayback Machine // Science 24 mai 2013: Vol. 340 nr. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
13. ↑ Problema #9 a fost rezolvată pentru cazul Abelian; cazul non-abelian rămâne nerezolvat.
14. ↑ Yuri Matiyasevich în 1970 a dovedit imposibilitatea algoritmică a întrebării dacă o ecuație diofantină arbitrară are cel puțin o soluție. Inițial, problema a fost formulată de Hilbert nu ca o dilemă, ci ca o căutare a unui algoritm: la acel moment, se pare, nici măcar nu se gândeau că ar putea exista o soluție negativă la astfel de probleme.
15. ↑ Afirmația că algebra invarianților este generată finit este dovedită pentru acțiunile arbitrare ale grupurilor reductive pe varietăți algebrice afine. Nagata în 1958 a construit un exemplu de acțiune liniară a unui grup unipotent pe un spațiu vectorial cu 32 de dimensiuni pentru care algebra invariantă nu este generată finit. VL Popov a demonstrat că dacă algebra invarianților oricărei acțiuni a unui grup algebric G asupra unei varietăți algebrice afine este generată finit, atunci grupul G este reductiv.
16. ↑ Prima parte (algebrică) a Problemei nr. 16 este formulată mai precis după cum urmează. Harnack a demonstrat că numărul maxim de ovale este , și că astfel de curbe există - se numesc curbe M. Cum pot fi aranjate ovalele curbei M ? Această problemă a fost rezolvată până la gradul inclusiv și se cunosc destul de multe pentru grad. În plus, există afirmații generale care limitează modul în care pot fi localizate ovalele curbelor M - vezi lucrările lui Gudkov, Arnold, Roon, Hilbert însuși (cu toate acestea, trebuie avut în vedere că demonstrația lui Hilbert pentru conține o eroare: una dintre cazuri, pe care le consideră imposibile, s-au dovedit a fi posibile și a fost construită de Gudkov). A doua parte (diferențială) rămâne deschisă chiar și pentru câmpurile vectoriale pătratice - nici măcar nu se știe câte pot fi și că există o limită superioară. Chiar și teorema individuală de finisare (că fiecare câmp vectorial polinomial are un număr finit de cicluri limită) a fost dovedită abia recent. A fost considerată dovedită de Dulac , dar a fost descoperită o eroare în demonstrația sa și, în cele din urmă, această teoremă a fost demonstrată de Ilyașenko și Ekal, pentru care fiecare dintre ei a trebuit să scrie o carte.
17. ↑ Se dă traducerea titlului original al problemei date de Hilbert: „16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen Arhivat din original pe 8 aprilie 2012.  (germană) . Totuși, mai precis conținutul său (cum este considerat astăzi) ar putea fi transmis prin următoarea denumire: „Numărul și aranjarea ovalelor unei curbe algebrice reale de un grad dat pe un plan; numărul și dispunerea ciclurilor limită ale unui câmp vectorial polinomial de un grad dat pe plan”. Probabil (după cum se poate vedea din traducerea în limba engleză a textului anunțului Arhivat 25 august 2018 pe Wayback Machine  (engleză) ), Hilbert credea că partea diferențială (în realitate s-a dovedit a fi mult mai dificilă decât cea algebrică ) ar putea fi soluționat prin aceleași metode ca și cea algebrică, de aceea nu am inclus-o în titlu.
18. ↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.
19. ↑ Rov și Gray se referă, de asemenea, la problema #18 ca fiind „deschisă” în cartea lor din 2000, deoarece problema împachetării mingii (cunoscută și sub numele de problema Kepler) nu fusese rezolvată până atunci, dar există acum dovezi că a fost deja rezolvată. rezolvat.rezolvat (vezi mai jos). Progrese în rezolvarea problemei #16 au fost făcute recent și, de asemenea, în anii 1990.
20. ↑ Young L. Prelegeri despre calculul variațiilor și teoria controlului optim. - M., Mir, 1974
21. ↑ MacShane Curbe generalizate. Duke matematică. J. 6 (1940), 513-536
22. ↑ Gamkrelidze R. V. Despre regimuri optime de alunecare // DAN SSSR, 143 (1962), 1243-1245
23. ↑ Problema a douăzeci și patra a lui Hilbert Arhivată la 3 martie 2016 la Wayback Machine . Rudiger Thiele, American Mathematical Monthly, ianuarie 2003.
24. ↑ cdate=2008-09-29 Cele mai dificile 23 de întrebări de matematică din lume . Consultat la 23 noiembrie 2019. Arhivat din original pe 9 februarie 2014. (nedefinit)
25. ↑ Solicitare DARPA Mathematics Challenge (26 septembrie 2008). Consultat la 23 noiembrie 2019. Arhivat din original la 12 ianuarie 2019. (nedefinit)

Literatură

• Problemele lui Bolibrukh A. A. Hilbert (100 de ani mai târziu) . - MTSNMO , 1999. - T. 2. - 24 p. - ( Biblioteca „Educația matematică” ).
• Demidov S.S. Despre istoria problemelor lui Hilbert // Cercetări istorice și matematice . - M.  : Nauka, 1966. - Nr. 17. - S. 91-122.
• Demidov S.S. „Probleme matematice” de Hilbert și Matematica secolului al XX-lea // Cercetări istorice și matematice. - M.  : Janus-K, 2001. - Nr. 41 (6). - S. 84-99.
• Lyashko S. I., Nomirovskii D. A., Petunin Yu. I., Semyonov V. V. Problema a douăzecea a lui Hilbert  : Soluții generalizate ale ecuațiilor operatorului. - M .  : Dialectică, 2009. - 192 p. - ISBN 978-5-8459-1524-5 .
• Problemele lui Hilbert  : Sat. / ed. P. S. Alexandrova . — M  .: Nauka, 1969. — 240 p.

Link -uri

• Textul original în germană al raportului lui Hilbert
• Traducerea în limba rusă a raportului lui Hilbert (partea introductivă și concluzia)

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	BNF : 123904018 GND : 4159859-3 SUDOC : 032990022