Problema Hilbert-Arnold

Problema Hilbert-Arnold din teoria sistemelor dinamice aparține clasei de probleme legate de estimarea numărului de cicluri limită . Este necesar să se demonstreze că într - o familie tipică cu parametri finiți de câmpuri vectoriale netede pe o sferă cu o bază compactă de parametri, numărul de cicluri limită este mărginit uniform peste toate valorile parametrului. Această problemă este legată din punct de vedere istoric de a 16-a problemă a lui Hilbert . În prezent (2009) au fost rezolvate doar câteva versiuni simplificate ale problemei Hilbert- Arnold .

Contextul matematic și enunțul problemei

Amintiți-vă una dintre variantele celei de-a 16-a probleme a lui Hilbert. Să considerăm un sistem de ecuații diferențiale polinomiale în plan

{\begin{cazuri}{\dot x}=P_{n}(x,y),\\{\dot y}=Q_{n}(x,y),\end{cazuri))\quad (x ,y)\în {\mathbb R}^{2},

(*)

unde și sunt polinoame de grad cel mult . $P_{n}$ $Q_{n}$ $n$

Sarcină (Problema existențială a lui Hilbert). Demonstrați că pentru fiecare există un număr astfel încât orice sistem de forma (*) are cel mult cicluri limită.

n\în \mathbb {N}

H(n)<\infty

H(n)

Numerele se numesc numere Hilbert pentru ciclurile limită . $H(n)$

Pentru ceea ce urmează, ne va fi convenabil să trecem la un spațiu de fază compact și la o bază de parametri compactă. Pentru a face acest lucru, folosim un truc cunoscut sub numele de compactare Poincaré . Extinzând câmpul vectorial polinomial în plan la un câmp de direcție analitică pe planul proiectiv , compactăm baza parametrului, iar apoi folosind proiecția centrală a sferei pe planul proiectiv, obținem câmpul de direcție analitică pe sferă (cu o număr finit de puncte singulare). Astfel, în spațiul tuturor câmpurilor analitice de direcții de pe sferă, se evidențiază o familie de câmpuri cu parametri finiți cu o bază compactă de parametri generați de sisteme polinomiale de un grad dat. În acest caz, problema existențială a lui Hilbert devine un caz special al următoarei ipoteze (mai puternice):

Problemă (Problema finității globale). În orice familie analitică finită-parametrică de câmpuri vectoriale analitice pe o sferă cu o bază de parametri compactă, numărul de cicluri limită este mărginit uniform pentru toate valorile parametrului .

B

\varepsilon \in B

Câmpurile vectoriale polinomiale sunt un exemplu natural de familie de parametri finiți, iar la momentul celei de-a 16-a probleme a lui Hilbert, aceasta era probabil singura familie explicită de acest gen cunoscută. Cu toate acestea, abordările s-au schimbat în timp, iar atenția matematicienilor a început să fie atrasă de întrebări nu despre o anumită familie, ci despre proprietățile familiilor tipice dintr-o anumită clasă. În cursul lucrărilor asupra revizuirii [ AAIS ] (1986), V. I. Arnold a propus să ia în considerare familiile cu parametri finiți de câmpuri vectoriale netede și a formulat mai multe conjecturi pe această temă.

Ce întrebări semnificative pot fi puse despre ciclurile limită în familiile tipice cu parametri finiți? Evident, un analog direct al celei de-a 16-a probleme a lui Hilbert nu are sens în acest caz: un sistem neted tipic pe o sferă poate avea un număr arbitrar de mare de cicluri limită hiperbolice care nu sunt distruse de o mică perturbație, ceea ce înseamnă a întreba despre o limită superioară. asupra numărului de cicluri limită dintr-o familie tipică fără sens. Cu toate acestea, un analog neted al conjecturii de finititate globală are sens. A fost formulată în mod explicit de Yu. S. Ilyashenko [194 ] și a fost numită problema Hilbert-Arnold :

Problemă (problema Hilbert-Arnold). În orice familie tipică cu parametri finiți de câmpuri vectoriale netede pe o sferă cu o bază de parametri compactă, numărul de cicluri limită este mărginit uniform pentru toate valorile parametrului.

Familiile analitice sunt foarte greu de studiat - de exemplu, ele nu permit perturbări locale în vecinătatea unui punct, deci nu există niciun motiv să credem că doar soluția problemei Hilbert-Arnold ne va permite să demonstrăm ipoteza finiității globale. , și odată cu ea a 16-a problemă Hilbert. Cu toate acestea, cercetătorii cred că studiul câmpurilor vectoriale netede poate oferi idei utile despre problema a 16-a și reprezintă, de asemenea, o problemă independentă și semnificativă.

Problema locală Hilbert-Arnold

Datorită compactității bazei parametrilor și a spațiului de fază, putem reduce problema Hilbert-Arnold la problema locală a studierii bifurcațiilor câmpurilor vectoriale degenerate speciale. Să ne amintim definițiile necesare.

Definiție. Un policiclu al unui câmp vectorial este un set numerotat ciclic de puncte singulare (posibil cu repetări) și un set de arce de curbe de fază (fără repetări) care leagă succesiv punctele singulare indicate - adică arcul conectează punctele și , unde , .

p_{1},\ldots ,p_{n}

\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}

\gamma _{j}

pijamale}

p_{{j+1}}

p_{{n+1}}\equiv p_{1}

j=1,\ldots ,n

Să definim „ciclicitatea unui policiclu”, adică numărul de cicluri limită care se nasc în timpul bifurcării sale:

Definiție. Luați în considerare o familie de câmpuri vectoriale . Fie ca sistemul să aibă un policiclu . Ciclicitatea unui policiclu într-o familie este un număr atât de minim încât există o astfel de vecinătate a policiclului și o astfel de vecinătate a valorii critice a parametrului ( ) încât pentru toată lumea din domeniu nu există simultan mai mult decât cicluri limită, iar distanța Hausdorff dintre aceste cicluri și tinde spre zero la .

\{v_{\varepsilon }(x)\}_{{\varepsilon \in B^{k))}

\varepsilon=\varepsilon_{*}

\gamma

\gamma

\{v_{\varepsilon }\}

\mu

U\supărat\gamma

V

{\mathbb R}^{k}\supset V\ni \varepsilon _{*}

\varepsilon \in V

U

\mu

\gamma

\varepsilon \to \varepsilon_{*}

Astfel, ciclicitatea depinde nu numai de câmpul vectorial care conține policiclul, ci și de familia în care este inclus.

Definiție. Numărul de bifurcație este ciclicitatea maximă a unui policiclu netrivial într-o familie tipică parametrică de câmpuri vectoriale netede pe o sferă.

B(k)

k

Definiția numărului de bifurcație nu mai depinde de familie, ci doar de dimensiunea spațiului parametrilor. Să formulăm problema locală Hilbert-Arnold :

O sarcină. Demonstrați că pentru fiecare există și găsiți o limită superioară explicită.

k>0

B(k)<\infty

Din considerentele de compactitate rezultă că, dacă numărul de cicluri limită dintr-o anumită familie nu este limitat, atunci acestea trebuie să se acumuleze într-un policiclu, care are astfel ciclicitate infinită. Astfel, rezolvarea problemei locale Hilbert-Arnold presupune rezolvarea celei globale.

Problema locală Hilbert-Arnold este rezolvată pentru și ( , ). Căci există o strategie de soluție, dar în prezent nu este finalizată. Aplicarea aceleiași strategii la evaluare pare a fi o sarcină complet fără speranță. Principalele rezultate în acest domeniu pentru cele arbitrare au fost obținute pentru o versiune simplificată a problemei locale Hilbert-Arnold, în care sunt luate în considerare numai policiclurile care conțin doar puncte singulare elementare . $k=1$ $k=2$ $B(1)=1$ $B(2)=2$ $k=3$ $B(4)$ $k$

Definiție. Un punct singular se numește elementar dacă matricea sa de liniarizare are cel puțin o valoare proprie diferită de zero . Un policiclu se numește elementar dacă toate vârfurile sale sunt puncte singulare elementare.

Un număr elementar de bifurcație este ciclicitatea maximă a unui policiclu elementar într-o familie -parametrică tipică. $E(k)$ $k$

Teorema (Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko, 1995 [ IYa ]). Căci toată lumea există .

k>0

E(k)<\infty

Teorema (V. Yu. Kaloshin, 2003 [ K ]). Pentru fiecare , estimarea este adevărată .

k>0

E(k)<25^{{k^{2}}}

Literatură

[AAIS] V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Teoria bifurcațiilor // Sisteme dinamice-5. Rezultatele științei și tehnologiei. Probleme moderne de matematică. direcții fundamentale. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
[I94] Yu. Iliașenko. Forme normale pentru familiile locale și bifurcațiile nonlocale // Asterisc. - 1994. - Vol. Vol.222. - S. 233-258 .
[IYa] Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko. Forme normale finit netede ale familiilor locale de difeomorfisme și câmpuri vectoriale // Uspekhi Mat . - 1991. - T. 46 , nr. 1 (277) . — pp. 3–39 .
[K01] V. Yu. Kaloshin. Problema Hilbert–Arnold și o estimare a ciclicității policiclurilor în plan și în spațiu // Funct. analiză și aplicațiile acesteia. - 2001. - T. 35 , nr 2 . — P. 78–81.
[IK] Ilyashenko, Yu., Kaloshin, V. Bifurcațiile policiclurilor plane și spațiale: programul lui Arnold și dezvoltarea sa. // Câmpuri Inst. comun. - 1999. - Vol. 24. - P. 241-271.
[K] V. Kaloshin. Problema a 16-a Hilbert existențială și o estimare pentru ciclicitatea policiclurilor elementare // Invent. matematica. - 2003. - Vol. 151. - P. 451-512.

Contribuția lui David Hilbert la știință
spatii	Spațiul Hilbert Spațiul pre-Hilbert Cărămidă Gilbert
axiomatica	axiomatica lui Hilbert
Teoreme	Teorema lui Hilbert 90 Teorema de bază a lui Hilbert Teorema nulă a lui Hilbert Teorema Hilbert-Schmidt
Operatori	Transformarea Hilbert operator Hilbert-Schmidt
Relativitatea generală	Ecuații Einstein-Hilbert „ Hilbert și ecuațiile câmpului gravitațional ”
Alte	Probleme Hilbert curba Hilbert matricea Hilbert Problema Hilbert-Arnold Seria Hilbert și polinomul Hilbert Paradoxul „Grand Hotel”