Teorema lui Descartes (geometrie)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 august 2022; verificările necesită 2 modificări .

Teorema lui Descartes afirmă că pentru oricare patru cercuri reciproc tangente , razele cercurilor satisfac o ecuație pătratică . Rezolvând această ecuație, puteți construi un al patrulea cerc care este tangent la celelalte trei cercuri date. Teorema este numită după René Descartes , care a formulat-o în 1643.

Istoric [1]

Problemele geometrice ale cercurilor tangente au fost discutate de mii de ani. În Grecia antică, în secolul al III-lea î.Hr., Apollonius din Perga a dedicat o carte întreagă acestui subiect. Din păcate, cartea, care s-a numit La atingere , nu a supraviețuit, după ce a murit în incendiul Bibliotecii din Alexandria .

René Descartes a discutat pe scurt problema în 1643 într-o scrisoare către Prințesa Elisabeta a Boemiei . A ajuns la exact aceeași soluție ca cea prezentată mai jos în ecuația (1), și astfel și-a introdus numele în teoremă.

Frederick Soddy a redescoperit ecuația în 1936. Cercurile tangente din această problemă sunt uneori denumite Cercurile lui Soddy , posibil pentru că Soddy a ales să publice versiunea sa a teoremei ca o poezie intitulată The Kiss Precise , care a fost publicată în Nature (20 iunie 1936). Soddy a generalizat teorema la sfere. Thorold Gosset a generalizat teorema la dimensiuni arbitrare [2] .

Istorie mai veche

Vedere lui Igor Sharygin [3] : În cea mai mare parte a perioadei Edo (1603-1867), Japonia a fost aproape complet izolată de lumea occidentală și s-a dezvoltat în propriile moduri, fără influența civilizațiilor occidentale. Cu toate acestea, acest lucru nu a împiedicat dezvoltarea științei japoneze, în special a matematicii. Geometria a înflorit în special. Japonezii credeau că arta geometriei este plăcută lui Dumnezeu. Reprezentanții tuturor claselor erau îndrăgostiți de ea, de la țărani la samurai. Ei și-au înfățișat descoperirile și teoremele cu vopsele colorate strălucitoare pe scânduri - sangaku - și le-au atârnat la temple - mai ales șintoiste, mai rar budiste - și morminte. Aceste plăci au fost atât o ofrandă pentru o divinitate venerată, cât și o „publicare” a autorului despre frumoasa sa descoperire. Explicațiile verbale erau aproape inexistente. Autorul părea să spună: „Uite și, dacă poți, demonstrează!”... Frumoasele probleme și teoreme adunate în cartea „Geometria templului japonez” sunt un fel de „calcul în cerc”, „imn în cerc”. Printre acestea găsim nu doar formula Soddy, ci și generalizarea acesteia la cazul tridimensional. Prima mențiune a relației dintre razele cercurilor a apărut pe o tablă (sangaku) în 1796 în Prefectura Tokyo, dovada completă a fost publicată în 1830. Interesant este că un exemplu care arată relația dintre razele a cinci sfere învecinate a fost descris pe o placă găsită în același loc și pierdută mai târziu, încă din 1785. La mijlocul secolului al XIX-lea, în Japonia a fost publicată o dovadă completă a „formula generalizată pentru cinci bile învecinate”...

Definiția curbură

Teorema lui Descartes este cel mai simplu enunțată în termeni de curbură a cercurilor. Curbura unui cerc este definită ca , unde r este raza acestuia. Cu cât cercul este mai mare, cu atât curbura lui este mai mică și invers. $k=\pm \ 1/r$

Semnul plus în k = ±1/ r este plasat dacă cercul are tangență externă la un alt cerc, ca cele trei cercuri negre din figură. Pentru atingerea cercurilor în interior , ca un cerc roșu mare în figură, care descrie restul cercurilor, este pus un semn minus.

Dacă presupunem că o dreaptă este un cerc degenerat cu curbură zero (și deci cu o rază infinită), teorema lui Descartes se aplică și unei linii drepte și a două cercuri care se ating în perechi. În acest caz, teorema dă raza celui de-al treilea cerc care atinge celelalte două și linia.

Dacă patru cercuri se ating în șase puncte diferite și cercurile au curburi k i (pentru i = 1, …, 4), teorema lui Descartes afirmă [4] :

(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{ 3}^{2}+k_{4}^{2}).

(unu)

Dacă încercați să găsiți raza celui de-al patrulea cerc tangent la trei cercuri care se ating, ecuația este mai bine scrisă astfel:

k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{ unu}}}.

(2)

Semnul ± reflectă faptul că în cazul general există două soluții. Dacă excludem cazul degenerat al unei linii drepte, o soluție este pozitivă, în timp ce cealaltă poate fi fie pozitivă, fie negativă. Dacă soluția este negativă, aceasta reprezintă un cerc care le descrie pe primele trei (așa cum se arată în figură).

Ocazii speciale

Dacă unul dintre cercuri este înlocuit cu o linie dreaptă, atunci unul dintre numerele k i , de exemplu, k 3 , va fi zero și iese din ecuația (1). Ecuația (2) devine mult mai simplă:

k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.

(3)

Dacă două cercuri sunt înlocuite cu drepte, tangența dintre cele două cercuri este înlocuită cu paralelismul a două drepte. Celelalte două cercuri rămase trebuie să fie egale. În acest caz, cu k 2 = k 3 = 0, ecuația (2) devine trivială

\displaystyle k_{4}=k_{1}.

Este imposibil să înlocuiți cele trei cercuri cu linii, deoarece un cerc și trei linii nu se pot atinge în perechi. Teorema lui Descartes nu se aplică nici în cazul în care toate cele patru cercuri se ating la un moment dat.

Un alt caz special este atunci când k i sunt pătrate,

(v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{4 }+z^{4})

Euler a arătat că este echivalent cu un triplu de triple pitagoreice ,

(2vx)^{2}+(2yz)^{2}=\,(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}

(2vy)^{2}+(2xz)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}

(2vz)^{2}+(2xy)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}

si se poate da o reprezentare parametrica . Dacă alegem semnul negativ al curburii,

(-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{ 4}+z^{4})

ecuația poate fi reprezentată ca o soluție parametrică binecunoscută [5] ,

[v,x,y,z]=\,[2(ab-cd)(ab+cd),(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) (a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),2(ac- bd)(b^{2}+d^{2})]

Unde

a^{4}+b^{4}=\,c^{4}+d^{4}

Teorema complexă a lui Descartes

Pentru a defini complet un cerc, trebuie să-i cunoașteți nu numai raza (sau curbura), ci și centrul. Ecuația corespunzătoare se scrie cel mai bine atunci când coordonatele ( x , y ) sunt reprezentate ca un număr complex z = x + i y . Ecuația arată apoi ca ecuația din teorema lui Descartes și, prin urmare, este numită teorema complexă a lui Descartes .

Dacă sunt date patru cercuri cu curburi k i și centrele z i ( i = 1…4), în plus față de egalitatea (1), este valabilă următoarea egalitate:

(k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1} ^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4 }^{2}z_{4}^{2}).

(patru)

După ce k 4 este găsit folosind ecuația (2), puteți începe să calculați z 4 schimbând ecuația (4) într-o formă similară cu (2):

z_{4}={\frac {z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2} z_{1}z_{2}+k_{2}k_{3}z_{2}z_{3}+k_{1}k_{3}z_{1}z_{3}}}}{k_{4} }}.

Din nou, în general, există două soluții pentru z 4 corespunzătoare la două soluții pentru k 4 .

Generalizări

Generalizarea pentru spațiul n-dimensional este uneori denumită teorema Soddy-Gosse , deși aceasta a fost deja făcută în 1886 de R. Lachlan. În spațiul euclidian n - dimensional , numărul maxim de sfere ( n - 1) dimensionale reciproc tangente este n + 2. De exemplu, în spațiul tridimensional, cinci sfere se pot atinge reciproc. Curbururile hipersferelor satisfac ecuația

\left(\sum _{{i=1}}^{{n+2}}k_{i}\right)^{2}=n\,\sum _{{i=1}}^{{n +2}}k_{i}^{2}

iar cazul k i = 0 corespunde unui hiperplan, la fel ca în cazul bidimensional.

Deși nu există analogi tridimensionali la numerele complexe, relația dintre locațiile centrelor poate fi reprezentată sub formă de ecuații matriceale [6] .

Vezi și

Cercul Ford
Grila lui Apollonius
Six Spheres of Soddy
Linii tangente la un cerc
Punct izoperimetric

Note

↑ Barabanov O. O., Barabanova L. P. Istoria teoremei cercului lui Descartes // Istoria științei și tehnologiei , Nr. 5, 2011. - P. 2-15
↑ Lagarias JC, Mallows CL, Wilks AR Beyond the Descartes Circle Theorema. arXiv matematică M.G. ian 2001// arXiv:math/0101066v1 [math.MG] 9 ian 2001// arxiv.org›pdf/math/0101066.pdf
↑ Vasilenko A. A. SERENADA LA MATEMATICĂ (link inaccesibil) / MATEMATICĂ. TOTUL PENTRU PROFESOR! Nr. 9 (21)|septembrie 2012 °C. 45-46.
↑ Formula (1) este uneori numită teorema lui Soddy . I-a dedicat un scurt poem.
↑ O colecție de identități algebrice: sume a trei sau mai multe puteri a patra . Consultat la 16 martie 2015. Arhivat din original la 17 aprilie 2018. (nedefinit)
↑ Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks. Dincolo de teorema cercului lui Descartes // The American Mathematical Monthly. - aprilie 2002. - T. 109 , nr. 4 . — S. 338–361 . — .

Link -uri

Applet interactiv care demonstrează patru cercuri reciproc tangente la tăierea nodului
Sărutul Precis
XScreenSaver: Capturi de ecran :: Un hack de afișare XScreenSaver vizualizează teorema lui Descartes, în hack „Apollonian”.
Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Dincolo de Teorema Cercului Descartes
Sharygin I. F., Shtorgin M. I. Cine a descoperit formula Soddy? Matematica la scoala Nr.02-03. 1992. S.31-33