Cercuri Ford

Cercurile Ford sunt cercuri centrate în puncte cu coordonate și raze , unde este o fracție ireductibilă . Fiecare cerc Ford este tangent la axa orizontală și oricare două cercuri fie se ating, fie nu se intersectează. [unu] $(p/q,1/(2q^{2}))$ $1/(2q^{2})$ $p/q$ $y=0$

Istorie

Cercurile Ford sunt un caz special de cercuri reciproc tangente. Sistemele de cercuri reciproc tangente au fost studiate de Apollonius din Perga , după care sunt numite problema lui Apollonius și grila lui Apollonius . În secolul XVII, Descartes a demonstrat teorema lui Descartes - relația dintre razele reciproce ale cercurilor reciproc tangente [2] .

Cercurile Ford poartă numele matematicianului american Lester Ford Sr. , care a scris despre ele în 1938 [1] .

Proprietăți

Cercul Ford corespunzător fracției este notat cu sau . Fiecare număr rațional corespunde unui cerc Ford. În plus, semiplanul poate fi considerat și un cerc Ford degenerat de rază infinită, corespunzător unei perechi de numere . $p/q$ $C[p/q]$ $C[p,q]$ $y\geqslant 1$ $p=1,q=0$

Oricare două cercuri Ford distincte fie nu se intersectează deloc, fie se ating. Nu există două cercuri Ford care au regiuni interioare care se intersectează, în ciuda faptului că în fiecare punct de pe axa absciselor, care are o coordonată rațională, un cerc Ford atinge această axă. Dacă , atunci setul de cercuri Ford care se ating poate fi descris în oricare dintre următoarele moduri: $0<p/q<1$ $C[p/q]$

cercuri , unde , [1] $C[r/s]$ $|ps-qr|=1$
cercuri în care fracțiile sunt adiacente în orice serie Farey , [1] sau $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$
cercuri , unde este cel mai apropiat strămoș mai mic sau cel mai apropiat mai mare din arborele Stern - Broko , sau este cel mai apropiat strămoș mai mic sau mai mare . [unu] $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$ $p/q$ $r/s$

Cercurile Ford pot fi văzute și ca regiuni din planul complex . Grupul de transformare modulară al planului complex mapează cercuri Ford către alte cercuri Ford. [unu]

Dacă se interpretează jumătatea superioară a planului complex ca un model al planului hiperbolic ( modelul semiplan Poincaré ), atunci cercurile Ford pot fi interpretate ca unire a planului hiperbolic cu horocicluri . Orice două cercuri Ford sunt congruente în geometria hiperbolică. [3] Dacă și sunt cercuri Ford tangente, atunci semicercul care trece prin punctele și și perpendicular pe axa absciselor este o linie hiperbolică care trece și prin punctul tangente a două cercuri Ford. $C[p/q]$ $C[r/s]$ $(p/q,0)$ $(r/s, 0)$

Cercurile lui Ford alcătuiesc un subset al cercurilor care alcătuiesc grila Apollonius, dată de liniile și și cercul . [patru] $y=0$ $y=1$ $C[0/1]$

Suprafața totală a cercurilor

Există o relație între aria totală a cercurilor lui Ford, funcția Euler , funcția zeta Riemann și constanta lui Apéry . [5] Deoarece nu se intersectează două cercuri Ford în puncte interioare, obținem imediat că aria totală a cercurilor $\varphi$ $\zeta (3)$

\left\{C[p,q]:0\leqslant {\frac {p}{q}}<1\right\}

mai mică de 1. Această zonă este dată de o sumă convergentă care poate fi calculată analitic. Prin definiție, aria necesară este egală cu

A=\sum _{{q\geqslant 1}}\sum _{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}\pi \left({\frac {1}{2q^{ 2}}}\dreapta)^{2}.

Simplificand aceasta expresie, obtinem

A={\frac {\pi }{4}}\sum _{{q\geqslant 1}}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{{q\geqslant 1}}{\frac {\varphi (q)}{q^{4} }}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4))),

unde ultima egalitate folosește formula pentru seria Dirichlet cu coeficienți dați de funcția Euler . Din moment ce , ca urmare, obținem $\zeta (4)=\pi ^{4}/90$

A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\aproximativ 0,872284041.

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 Ford L. R. Fracții // American Mathematical Monthly . - 1938. - Vol. 45 , nr. 9 . - P. 586-601 . - doi : 10.2307/2302799 . , MR : 1524411 .
↑ G. Coxeter, Problema lui Apollonius // American Mathematical Monthly . - 1968. - Vol. 75 . — P. 5–15 . - doi : 10.2307/2315097 . MR : 0230204 _
↑ Conway J. Forme cuadratice care ne sunt date în senzație . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 p. - 1000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
↑ Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Nalbe, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. Apollonian circle packings: number theory // Journal of Number Theory . - 2003. - Vol. 100 , nr. 1 . — P. 1–45 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00015-5 . - arXiv : math.NT/0009113 . , MR : 1971245 .
↑ Marszalek W. Circuits with oscillatory ierarhic Farey sequences and fractal properties // Circuits, Systems and Signal Processing. - 2012. - Vol. 31 , nr. 4 . - P. 1279-1296 . - doi : 10.1007/s00034-012-9392-3 . .

Vezi și

Link- uri externe

Cercurile care se ating de la Ford
Weisstein, Eric W. Ford Circle (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .