Teorema lui Dehn este o teoremă de tăiere dreptunghiulară formulată de Max Dehn în 1900 .
Dacă un dreptunghi este tăiat în pătrate (nu neapărat egal), atunci raportul laturilor sale este rațional .
În august 1900, la Paris a avut loc cel de-al doilea Congres Internațional al Matematicienilor . Pe el, matematicianul german David Hilbert a prezentat 23 de probleme pe care le considera cele mai relevante pentru matematica secolului XX. A treia problemă a fost rezolvată cel mai repede de Max Dehn, elevul lui Hilbert, în același 1900. Sună așa: un cub și un tetraedru obișnuit de volum egal sunt compuse în mod egal (adică, un cub poate fi tăiat în mai multe poliedre și adună un tetraedru regulat de același volum din ele)? M. Den a dovedit că o astfel de tăiere este imposibilă. Pentru a demonstra acest lucru, el a introdus conceptul de invariant Dehn. După rezolvarea celei de-a treia probleme a lui Hilbert, M. Dehn în 1903 a formulat teorema de tăiere dreptunghiulară, în demonstrarea căreia și-a folosit invariantul.
Dovada lui M. Dehn a fost destul de complexă și confuză. Ulterior au apărut și alte dovezi, mai simple. De exemplu, în 1940, patru studenți R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. G. Stone și W. T. Tutt au oferit o dovadă bazată pe o interpretare fizică folosind circuite electrice (după ce au găsit prima pătrat non-trivială a pătratului ). Este de remarcat demonstrația elementară a lui IM Yaglom , în care a folosit metoda de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare . De asemenea, era cunoscută o demonstrație non-elementară a teoremei lui Dehn folosind baza Hamel . Pentru a face acest lucru, conceptul de zonă este generalizat , astfel încât aria unui dreptunghi cu un raport irațional al laturilor devine negativă, în timp ce ariile pătratelor rămân nenegative. Fedor Sharov a tradus această dovadă într-un limbaj elementar.