Teorema lui Jordan asupra grupurilor liniare finite

Teorema Jordan este o teoremă asupra grupurilor liniare finite care garantează existența unui subgrup comutativ mare în orice grup liniar finit .

Inițial dovedit de Camille Jordan , ulterior îmbunătățit de mai multe ori.

Formulare

Pentru orice dimensiune , există un număr astfel încât orice subgrup finit al grupului de matrici inversabile cu componente complexe conține un subgrup comutativ normal cu indice . $n$ $f(n)$ $G$ $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ $H$ $[G:H]\leq f(n)$

Variații și generalizări

Schur a dovedit un rezultat mai general pentru grupurile periodice , dând următoarea estimare: $f(n)=\left({\sqrt {8n}}+1\right)^{2n^{2}}-\left({\sqrt {8n}}-1\right)^{2n ^{2}}$ [unu]

Pentru grupuri finite, o estimare mai precisă a fost demonstrată de Andreas Spicer : $f(n)=n!\cdot 12^{n(\pi (n+1)+1))$

unde este funcția de distribuție a numerelor prime . [2]

\pi(n)

Acest scor a fost îmbunătățit de Blichfeldt care a schimbat „12” în „6”.
Ulterior, Michael Collins, folosind clasificarea grupurilor finite simple , a arătat că pentru , și a oferit o descriere aproape completă a comportamentului pentru mici . $f(n)=(n+1)!$ $n\geq 71$ $f(n)$ $n$

Note

↑ Curtis, Charles. Teoria reprezentării grupurilor finite și algebrelor asociative / Charles Curtis, Irving Reiner . — John Wiley & Sons, 1962. — P. 258–262.
↑ Speiser, Andreas. Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, mit Andwendungen auf algebraische Zahlen und Gleichungen sowie auf die Krystallographie, von Andreas Speiser. - New York: Dover Publications, 1945. - P. 216-220.