Grupul liniar complet (uneori este folosit termenul de grup liniar general ) se referă la două concepte diferite (deși strâns legate).
Grupul liniar complet al unui spațiu vectorial V este grupul operatorilor liniari inversabili de forma C : V → V [1] . Rolul operației de grup este jucat de compoziția obișnuită a operatorilor liniari.
Notat de obicei GL( V ) .
Grupul liniar complet de ordin n este grupul de matrici inversabile de ordin n (adică matrici pătrate cu n rânduri și n coloane) [2] . Rolul operației de grup este jucat de înmulțirea matriceală obișnuită.
Notat de obicei GL( n ) [3] . Dacă este necesar să se indice în mod explicit cărui câmp (sau, într-un caz mai general, inel comutativ cu unitate) K ar trebui să aparțină elementele matricei, atunci scrieți: GL( n , K ) [4] sau GL n ( K ) .
Deci, dacă sunt luate în considerare matrice peste numere reale , întregul grup liniar de ordin n este notat cu GL( n , R ) , iar dacă peste numere complexe , atunci GL( n , C ) .
Ambele concepte sunt de fapt strâns legate. În primul rând, o matrice pătrată de ordin n poate fi privită ca un operator liniar care acționează asupra unui spațiu vectorial aritmetic K n (adică spațiul coloanelor n -dimensionale cu elemente din K ). Prin urmare GL( n , R ) = GL( R n ) și GL( n , C ) = GL( C n ) .
În al doilea rând, introducerea unei baze într-un spațiu vectorial n - dimensional V peste un câmp de scalari K permite corespondența unu-la-unu a unui operator liniar C : V → V cu matricea sa , o matrice pătrată de ordin n din componente. a operatorului C în această bază. În acest caz, operatorul inversabil va corespunde unei matrice nesingulare și obținem o corespondență unu-la-unu între grupurile GL( V ) și GL( n , K ) (această corespondență este de fapt un izomorfism al acestor grupuri).
Dacă V este un spațiu vectorial peste un câmp de scalari K , atunci grupul liniar complet al spațiului V este grupul tuturor automorfismelor spațiului V . Grupul GL( V ) și subgrupurile sale se numesc grupuri liniare .
În grupul liniar general GL( n , K ) se poate evidenția un subgrup SL( n , K ) format din toate matricele cu determinant egal cu 1. Acesta este un grup liniar special de ordin n , notat cu SL( n , K ) ) .
Alte subgrupe importante ale grupului GL( n , K ) :
Grupul GL( n , K ) și subgrupurile sale sunt adesea numite grupuri matrice (de rețineți că pot fi numite și grupuri liniare , dar grupul GL( V ) este liniar, dar nu matrice).
În special, subgrupurile grupului GL( n , R ) sunt grupul liniar special SL( n , R ) , grupul ortogonal O( n ) , grupul ortogonal special SO( n ) etc.
Subgrupurile grupului GL( n , C ) sunt grupul liniar special SL( n , C ) , grupul unitar U( n ) , grupul unitar special SU( n ) de ordinul n etc.
Grupurile liniare complete GL( n , R ) și GL( n , C ) (precum și subgrupurile lor principale enumerate în cele două paragrafe anterioare) sunt [5] Grupuri Lie . Aceste grupuri sunt importante în teoria reprezentării grupurilor ; ele apar şi în studiul diferitelor tipuri de simetrii .
De asemenea, rețineți că pentru n = 1 grupul GL( n , K ) se reduce de fapt la grupul ( K * , •) de scalari nenuli ai câmpului K (ambele grupuri sunt izomorfe canonic) și, prin urmare, este abelian (comutativ). Pentru n mai mare de 1, grupurile GL( n , K ) nu sunt abeliene.
| Teoria grupurilor | |
|---|---|
| Noțiuni de bază | |
| Proprietăți algebrice | |
| grupuri finite |
|
| Grupuri topologice | |
| Algoritmi pe grupuri | |