Grup periodic

Un grup periodic este un grup în care fiecare element are o ordine finită . Toate grupurile finite sunt periodice. Conceptul de grup periodic nu trebuie confundat cu conceptul de grup ciclic .

Exponentul (sau perioada ) unui grup periodic este cel mai mic multiplu comun al ordinelor elementelor , dacă există unul. Orice grup finit are un exponent - acesta este un divizor numeric . $G$ $G$ $|G|$

Una dintre problemele cheie ale teoriei grupurilor - problema Burnside - este dedicată problemei relației dintre grupurile periodice și grupurile finite din clasa grupurilor generate finit , întrebarea principală este dacă caracterul finit al grupului decurge din existența exponentul (în cazul general, răspunsul este negativ).

Exemplele de grupuri periodice infinite includ grupul aditiv al inelului polinomial peste un câmp finit și grupul de coeficient , ca și grupul Prufer , fiind un subgrup . Un alt exemplu este unirea tuturor grupurilor diedrice . Niciuna dintre aceste grupuri nu are un număr finit de generatoare și orice grup liniar periodic cu un număr finit de generatoare este finită. Exemple de grupuri periodice infinite cu un număr finit de generatoare au fost construite de Golod pe baza lucrului în comun cu Shafarevich ( teorema Golod-Shafarevich ), precum și de către Alyoshin și Grigorchuk folosind teoria automatelor . $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

Logica matematică

O proprietate notabilă a grupurilor periodice este că nu pot fi formalizate prin intermediul logicii de ordinul întâi . În caz contrar, ar fi necesară o axiomă a formei:

\forall x.\,((x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots )

care conține o disjuncție infinită și, prin urmare, inacceptabilă. Este imposibil să ocoliți această disjuncție infinită folosind un număr infinit de axiome - din teorema de compactitate rezultă că niciun set de formule de ordinul întâi nu poate descrie clasa grupurilor periodice [1] .

Concepte înrudite

Subgrupul de torsiune al unui grup abelian este subgrupul format din toate elementele de ordin finit. Un grup de torsiune abelian este un grup abelian în care fiecare element are o ordine finită. Un grup abelian fără torsiune este un grup abelian în care elementul de identitate este singurul element de ordin finit. $A$

Vezi și

Torsiunea (algebră)
Teorema Jordan-Schur

Note

↑ Ebbinghaus, Flume, Thomas 1994 , p. cincizeci.

Literatură

Golod E. S. Despre nil-algebre și p-grupuri finit aproximative // Izv. Academia de Științe a URSS Ser. Mat.. - 1964. - V. 28 , nr. 2 . - S. 273-276 .
Aleshin S. V. Automate finite și problema Burnside pe grupuri periodice // Matematică. note. - 1972. - T. 11 , nr. 3 . — S. 319–328 .
Grigorchuk R. I. Despre problema Burnside pe grupuri periodice // Funct. analiza şi aplicaţiile acesteia.- 1980. - V. 14 , nr. 1 . — S. 53–54 .

Grigorchuk R. I. Gradele de creștere ale grupurilor finite generate și teoria mijloacelor invariante // Izv. Academia de Științe a URSS Ser. Mat.. - 1984. - T. 48 , nr. 5 . — S. 939–985 .

H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas. logica matematica. - 2. ed., 4. pr.. - New York [ua]: Springer, 1994. - ISBN 978-0-387-94258-2 .