Atașamentul Segre

Încorporarea Segre este utilizată în geometria proiectivă pentru a trata produsul direct al două spații proiective ca o varietate proiectivă . Numit după matematicianul italian Beniamino Segre [1] .

Definiție

Maparea Segre este definită ca mapare

\sigma :P^{n}\time P^{m}\la P^{{(n+1)(m+1)-1}},\

care trimite o pereche ordonată de puncte către un punct ale cărui coordonate omogene sunt produsele pe perechi ale coordonatelor omogene ale punctelor originale (scrise în ordine lexicografică ):

\sigma :([x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}],[y_{0}:y_{1}:\cdots :y_{m}])\mapsto [x_{0 }y_{0}:x_{0}y_{1}:\cdots :x_{i}y_{j}:\cdots :x_{n}y_{m}].\

Imaginea acestei mapări este o varietate proiectivă numită varietate Segre .

Descriere în limbajul algebrei liniare

Conform proprietății universale a produsului tensor , pentru spațiile vectoriale U și V (pe același câmp k ), există o mapare naturală de la produsul lor cartezian la produsul tensor :

\varphi :U\times V\la U\otimes V.\

De regulă, această mapare nu este injectivă , deoarece pentru orice , și non-zero $u\în U$ $v\în V$ $c\în k,$

\varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{{-1}}v=\varphi (cu,c^{{-1}}v).\

Maparea induce un morfism de proiectivizări ale spațiilor liniare corespunzătoare: $\varphi$

\sigma :P(U)\times P(V)\to P(U\otimes V).\

Acest morfism nu este doar o mapare injectivă în sensul teoriei mulțimilor , este și o imersiune închisă în sensul geometriei algebrice (aceasta înseamnă că imaginea unei mapări poate fi dată ca mulțime de zerouri ale unui sistem). a ecuaţiilor polinomiale). Aceasta explică motivele pentru care această mapare este numită încorporarea Segre .

Este ușor de calculat dimensiunile spațiilor corespunzătoare: dacă atunci și deoarece proiectivizarea reduce dimensiunile cu una, acest caz corespunde cartografierii ${\mathrm {dim}}\;U=n+1,\;{\mathrm {dim}}\;V=m+1,$ ${\mathrm {dim}}\;(U\otimes V)=mn+m+n+1,$ ${\mathbb P}^{n}\times {\mathbb P}^{m}\la {\mathbb P}^{{nm+n+m)).$

Proprietăți

Dacă notăm coordonatele omogene pe imaginea înglobării Segre ca și le scriem ca o matrice , atunci varietatea Segre va conține exact „matrici” de rang 1, adică matrici în care toate minorele de dimensiune sunt egale cu zero. Astfel, varietatea Segre este definită ca mulțimea de zerouri comune de ecuații de formă $z_{{ij}}$ $2\ ori 2$

z_{{i,j}}z_{{k,l}}-z_{{i,l}}z_{{k,j}},\

Unde

i\neq k,j\neq l.

Fibrele unei varietăți Segre (adică seturi de formă sau pentru un punct fix ) sunt subspații liniare ale imaginii. $\sigma (\cdot ,p)$ $\sigma (p,\cdot )$ $p$

Exemple

Quadric

În cazul n = m = 1, maparea Segre este încorporarea produsului liniei proiective și ea însăși într-un spațiu proiectiv tridimensional. În coordonate omogene, imaginea acestei mapări este setul de soluții ale ecuației algebrice

\det \left({\begin{matrix}z_{0}&z_{1}\\z_{2}&z_{3}\end{matrix}}\right)=z_{0}z_{3}-z_{ 1}z_{2}=0.

Astfel, într-un spațiu proiectiv complex , o varietate Segre este o cvadrică obișnuită fără singularități. Într -un spațiu proiectiv real, aceasta este o cvadrică de semnătură în coordonate afine; corespunde unui hiperboloid cu o singură foaie și unui paraboloid hiperbolic . Ambele aceste cvadrici sunt exemple de suprafețe riglate . $(2.2),$

soiul veronez

Imaginea diagonalei de sub maparea Segre este o varietate Veronese de gradul doi: $\Delta \subset P^{n}\times P^{n}$

\nu _{2}:P^{n}\la P^{{n^{2}+2n}}.\

Note

↑ Încorporarea Segre // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 1101.

Literatură

Harris J. Geometrie algebrică. Curs inițial. — M.: MTsNMO, 2005.
Hassett, Brendan (2007) Introduction to Algebraic Geometry, pagina 154, Cambridge University Press - ISBN 978-0-521-87094-8 .