Teorema lui Liouville asupra mapărilor conformale

Teorema de cartografiere conformă a lui Liouville afirmă că

orice mapare conformă a unui domeniu al spațiului euclidian la poate fi reprezentată ca un număr finit de suprapuneri de izometrii și inversiuni . $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geqslant 3$

Această teoremă relevă sărăcia clasei mapărilor conformale în spațiu, iar din acest punct de vedere este foarte importantă în teoria funcțiilor analitice ale mai multor variabile complexe și în teoria mapărilor cvasiconforme . În comparație, oricare două domenii conectate pur și simplu cu mai mult de un punct de limită sunt echivalente conform (aceasta este teorema de mapare Riemann ). $\mathbb {R} ^{2}$

Teorema a fost demonstrată de Liouville în 1850 . În 1967, Reshetnyak a generalizat teorema în cazul în care se presupune că maparea are numai derivate generalizate (care se află într-un spațiu Sobolev ). [unu] $W_{n}^{1}$

Schița dovezii

În cazul mapărilor infinit diferențiabile, demonstrația rezultă dintr-o afirmație mai generală a geometriei diferențiale.

Fie o varietate Riemanniană și o suprafață netedă în ea, fie operatorul său de curbură extrinsecă (adică un operator astfel încât să existe o a doua formă fundamentală) și să fie o funcție pozitivă pe . Atunci operatorul curburii exterioare a metricii este exprimat ca , unde este câmpul normalelor exterioare la , a este derivata Lie . $(X,g)$ $S\subset X$ $A\colon TS\la TS$ $g(Au,v)=\mathrm {I\!I} (u,v)$ $f$ $X$ $g'=fg$ $A'(u)={\frac {\sqrt {f}}{2}}A(u)-\left(L_{\mathbf {n} _{S}}{\sqrt {f}} \right)u$ $\mathbf {n} _{S)$ $S$ $L$

Rezultă că, deși operatorul de curbură extrinsecă în sine nu este un invariant conform (ceea ce este evident pentru transformările Möbius , care translată planuri total geodezice - adică având curbură extrinsecă identică nulă - în sfere circulare), setul de puncte în care valorile sale proprii sunt coincid ( curburi principale ), conform invariante. Aceste puncte se numesc puncte de rotunjire . În special, suprafețele complet ombilicale - adică acelea ale căror puncte sunt puncte de rotunjire - sunt convertite prin transformări conforme în cele complet ombilicale. Acestea sunt epuizate de regiunile sferelor și planurilor, ceea ce completează demonstrația teoremei. $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{n}$

În plus, din această formulă rezultă că vectorii proprii ai operatorului de curbură extrinsecă sunt, de asemenea, invarianți conform și, prin urmare, liniile integrale locale ale câmpurilor de vectori proprii corespunzătoare - așa-numitele linii de curbură . Această afirmație este remarcată de Schouten și Struik . [2]

Rețineți că nu există nicio restricție asupra dimensiunii varietății ambientale în această teoremă. Cu toate acestea, corolarul în acest caz este o tautologie, deoarece operatorul de curbură extrinsecă are o singură valoare proprie pe o curbă în plan și, prin urmare, fiecare curbă este complet ombilicală (ceea ce este de acord cu faptul că toate curbele netede Jordan sunt mapate în fiecare dintre ele). altele prin mapări conforme ale domeniilor delimitate de acestea).

Alți invarianți conformali

Geometria mapărilor conforme este deosebit de bogată pentru suprafețele în . În acest caz, invariantul transformării conforme nu este doar punctele de rotunjire ale suprafeței, ci și așa-numitul integrand Wilmore, , unde este curbura medie , este curbura Gaussiană și este forma zonei. Această formă este pusă la zero exact la punctele de rotunjire ale suprafeței. Integrala se numește funcțională Wilmor. $S^{3}$ $(H^{2}-K)\omega _{g)$ $H$ $K$ $\omega _{g)$ $\int _{S}(H^{2}-K)\omega _{g)$

Prin analogie cu operatorul de curbură extrinsecă, ale cărui direcții proprii sunt conform invariante, deși el însuși se modifică în timpul transformărilor conformale, Bryant a introdus harta Gaussiană conformă . Și anume, deși conceptul de plan tangent nu este conform invariant, conceptul de sferă tangentă având aceeași curbură medie ca suprafața în punctul de tangență este deja conform invariant. Sferele din , dacă sunt implementate ca un set de raze izotrope în spațiul Minkowski , sunt decupate de hiperplanuri semnături - și acestea sunt determinate de normala unității lor, adică de punctul hiperboloidului . Asocierea unui punct de suprafață cu un punct Möbius al hiperboloidului corespunzător sferei sale tangente este echivalentă sub acțiunea grupului Möbius ; aceasta este harta Gaussiană conformă. [3] $S^{3}$ $S^{3}$ $\mathbb {R} ^{4,1}$ $\mathbb {R} ^{3,1}$ $Q=\{(v,v)=1\}\subset \mathbb {R} ^{4,1)$ $S^{3}$ $\mathrm {SO} (4,1)$

Relația cu geometria complexă

Ar fi o greșeală să concluzionăm, prin contrast între teorema lui Liouville pentru și teorema lui Riemann pentru , că mapările conforme ale spațiilor de dimensiune superioară nu sunt relevante pentru analiza și geometria complexă. Dimpotrivă, bogăția structurilor geometriei complexe multidimensionale împiedică existența transformărilor conforme ale domeniilor euclidiene, altele decât cele Möbius. Deci, pentru varietăți tridimensionale, maparea lor conformă induce o mapare RC-holomorfă a răsucitorilor lor Lebrun ; în cazul unui spațiu euclidian, ridicările de sfere rotunde către răsucitoarele lui Lebrun definesc pe ele o rețea de curbe holomorfe, care trebuie transpuse unele în altele sub aceste mapări, ceea ce determină condiții stricte asupra lor, care în cele din urmă se reduc la Möbius. $n>2$ $n=2$

Note

↑ Yu. G. Reshetnyak. „Teorema lui Liouville privind mapările conforme în ipotezele de regularitate minimă”, Sibirsk. matematica. revistă , 8:4 (1967), 835–840
↑ I. A. Schouten și D. J. Stroyk. Introducere în noi metode de geometrie diferențială. Pe. din germanul B. A. Rosenfeld și I. M. Yaglom , 1948, M., Editura de Stat de Literatură Străină. S. 228.
↑ Bryant, Robert L. O teoremă de dualitate pentru suprafețele Willmore. J. Geom diferenţial. 20 (1984), nr. 1, 23-53.