Teorema lui Musselman

În geometria euclidiană , teorema lui Musselman este o proprietate a anumitor cercuri definite pentru un triunghi arbitrar .

Enunțul teoremei

Să fie un triunghi cu vârfuri și . Fie , și vârfurile triunghiului de reflexii obținute prin reflectarea în oglindă a fiecărui vârf față de latura opusă [1] . Fie centrul cercului circumscris . Luați în considerare 3 cercuri , și , care trec prin punctele , și , respectiv. Teorema afirmă că aceste trei cercuri Musselman se intersectează în punctul , care este inversarea punctului Kosnita circumscris cercului , care este conjugarea izogonală a centrului celor nouă puncte ale triunghiului [2] . $T$ $A$ $B$ $C$ $A^{*}$ $B^{*}$ $C^{*}$ $T^{*}$ $T$ $O$ $T$ $S_{A}$ $S_{B}$ $S_{C}$ $A\,O\,A^{*}$ $B\,O\,B^{*}$ $C\,O\,C^{*}$ $M$ $T$ $T$

Punctul comun este punctul Gilbert al triunghiului , care este listat ca fiind în Enciclopedia Centrelor Triunghiului [2] [3] . $M$ $T$ $X_{1157}$

Istorie

Teorema a fost propusă ca problemă de JR Musselman și René Goormaghtigh în 1939 [4] , iar demonstrația a fost prezentată de aceștia în 1941 [5] . O generalizare a acestui rezultat a fost formulată și dovedită de Gormatig [6] .

Generalizarea Gormatig

Generalizarea lui Gormatig a teoremei lui Musselman nu menționează în mod explicit cercuri.

Ca și mai înainte, fie , și vârfurile triunghiului , și să fie centrul cercului circumscris. Fie ortocentrul triunghiului , adică intersecția a trei înălțimi . Fie , și trei puncte pe segmente , și , astfel încât . Luați în considerare 3 drepte , și , perpendiculare pe , și prin puncte , și respectiv . Fie , și punctele de intersecție ale perpendicularelor cu liniile , și respectiv . $A$ $B$ $C$ $T$ $O$ $H$ $T$ $A'$ $B'$ $C'$ $OA$ $OB$ $OC$ $OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=t$ $L_{A}$ $L_{B}$ $L_{C}$ $OA$ $OB$ $OC$ $A'$ $B'$ $C'$ $P_{A}$ $P_{B}$ $P_{C}$ $î.Hr$ $CA$ $AB$

Neuberg (J. Neuberg) a observat în 1884 că trei puncte , și se află pe o singură linie dreaptă [7] . Fie proiecția centrului cercului circumscris pe linie și fie un punct pe astfel încât . Hormatig a demonstrat că este inversarea față de conjugarea izogonală a unui punct de pe dreapta lui Euler astfel încât [8] [9] . $P_{A}$ $P_{B}$ $P_{C}$ $R$ $N$ $O$ $R$ $N'$ $ON$ $ON'/ON=t$ $N'$ $T$ $Q$ $OH$ $QH/QO=2t$

Note

↑ D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle Arhivat 3 mai 2015 la Wayback Machine . Forum Geometricorum, volumul 3, paginile 105—111
↑ 1 2 Weisstein, Teorema lui Eric W. Musselman pe site-ul Wolfram MathWorld .
^ Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers Arhivat la 19 aprilie 2012 la Wayback Machine , secțiunea X(1154) = Gilbert Point . Accesat pe 2014-10-08
↑ JR Musselman și R. Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928 . American Mathematics Monthly, volumul 46, pagina 601
^ JR Musselman și R. Goormaghtigh (1941), Solution to Advanced Problem 3928 . American Mathematics Monthly, volumul 48, paginile 281-283
↑ Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza Arhivat la 4 martie 2016 la Wayback Machine , pagina 10. Document online, accesat la 05-10-2014.
↑ J. Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre . Potrivit lui Nguyen, Neuberg afirmă și teorema lui Goormaghtigh, dar incorect.
↑ Khoa Lu Nguyen (2005), O dovadă sintetică a generalizării lui Goormaghtigh a teoremei lui Musselman Arhivat la 4 martie 2016 la Wayback Machine . Forum Geometricorum, volumul 5, paginile 17-20
↑ Ion Patrascu si Catalin Barbu (2012), Two new proofs of Goormaghtigh theorem Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine . International Journal of Geometry, volumul 1, paginile=10-19, issn=2247-9880