Teorema Riemann-Roch pentru suprafețe

Teorema Riemann-Roch pentru suprafețe descrie dimensiunea sistemelor liniare pe o suprafață algebrică . În forma clasică, teorema a fost formulată pentru prima dată de Castelnuovo [1] după versiuni preliminare de Max Noether [2] și Enriques [3] . Versiunea în materie de snopi se datorează lui Hirzebruch.

Enunțul teoremei

O formă a teoremei Riemann-Roch afirmă că dacă D este un divizor al unei suprafețe proiective nesingulare, atunci

\chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(DK)\,

unde χ este caracteristica Euler holomorfă a lui , simbolul punct este indicele de intersecție al lui , iar K este divizorul canonic. Constanta χ(0) este caracteristica Euler holomorfă a mănunchiului trivial și este egală cu 1 + p a , unde p a este genul aritmetic al suprafeței. Pentru comparație, teorema Riemann-Roch pentru o curbă afirmă că . $\chi (D)=\chi (0)+grade (D)$

Formula lui Noether

Formula lui Noether afirmă că

\chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}

unde χ=χ(0) este caracteristica Euler holomorfă, este numărul Chern și numărul de autointersecții ale clasei canonice K și este caracteristica topologică Euler. Formula poate fi folosită pentru a înlocui termenul χ(0) din teorema Riemann-Roch în termeni topologici. Aceasta dă teorema Hirzebruch-Riemann-Roch pentru suprafețe. $c_{1}^{2}=(KK)$ $e=c_{2}$

Legătura cu teorema Hirzebruch-Riemann-Roch

Pentru suprafețe Teorema Hirzebruch-Riemann-Roch este în esență teorema Riemann-Roch pentru suprafețe combinată cu formulele lui Noether. Pentru a vedea acest lucru, amintiți-vă că pentru orice divizor D de pe suprafață există un snop inversabil L = O( D ) astfel încât sistemul liniar al divizorului D este mai mult sau mai puțin spațiul secțiunilor lui L . Pentru suprafețe, clasa Todd este , iar caracterul Chern al snopului L este pur și simplu . Astfel, teorema Hirzebruch-Riemann-Roch afirmă că $1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12$ $1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2$

{\begin{aliniat}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac { 1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1 {12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aliniat}}

Din fericire, formula poate fi rescrisă într-o formă mai clară, după cum urmează. În primul rând, stabilind D = 0, obținem asta

\chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)

(formula lui Noether)

Pentru snopi reversibile (mănunchiuri de linie), a doua clasă Chern este zero. Produsele claselor a doua de coomologie pot fi identificate cu numerele de intersecție din grupul Picard , și obținem o versiune mai clasică a teoremei Riemann-Roch pentru suprafețe:

\chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2))(DD-DK)

Dacă se dorește, putem folosi dualitatea Serre pentru a exprima ca , dar, spre deosebire de curbele, nu există în general o modalitate ușoară de a scrie termenul într-o formă care să nu folosească coomologia snopului (deși, în practică, adesea dispare) . $h^{2}(\mathrm {O} (D))$ $h^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $h^{1}(\mathrm {O} (D))$

Versiunile timpurii

Cele mai timpurii forme ale teoremei Riemann-Roch pentru suprafețe au fost adesea formulate ca inegalități, mai degrabă decât egalități, deoarece nu exista o descriere geometrică directă a primelor grupuri de coomologie. Un exemplu tipic de formulare a fost dat de Zariski [4] , care afirmă

r\geqslant n-\pi +p_{a}+1-i

Unde

r este dimensiunea sistemului liniar complet | D | divizor D (deci ) $r=h^{0}(\mathrm {O} (D))-1$
n este gradul virtual al divizorului D , dat de numărul de auto-intersecții ( D . D )
π este genul virtual al divizorului D , egal cu 1 + (DD + KD)/2
p a — genul aritmetic al suprafeței $\chi (\mathrm {O} _{F})-1$
i este indicele de specificitate al divizorului D , egal (care, conform dualității Serra, este egal cu ). $dimH^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $dimH^{2}(\mathrm {O} (D))$

Diferența celor două părți ale acestei inegalități se numește redundanță s a divizorului D . Compararea acestei inegalități cu versiunea teoremei Riemann-Roch cu snopi arată că redundanța divizorului D este dată de egalitatea . Divizorul D a fost numit regulat dacă (sau, cu alte cuvinte, dacă toate grupurile de coomologie înaltă O( D ) dispar) și redundant dacă . $s=dimH^{1}(\mathrm {O} (D))$ $i=s=0$ $s>0$

Note

↑ Castelnuovo, 1896 .
↑ Noether, 1875 .
↑ Enriques (1894)
↑ Zariski, 1995 , p. 78.

Literatură

Friedrich Hirzebruch. Metode topologice în geometrie algebrică. - Springer, 1978. - ISBN 3-540-03525-7 . - ISBN 0-387-03525-7 . — ISBN 3-540-58663-6 .
Oscar Zariski . Suprafețe algebrice. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - (Classics in Mathematics). — ISBN 978-3-540-58658-6 .
Castelnuovo G. Sulle superficie di genere zero // Mem. soc. It delle Scienze. - 1896. - Vol. 3 , nr. 10 .
Max Noether. Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde // Math. Ann .. - 1875. - T. 8 , nr. 4 . — S. 495–533 . - doi : 10.1007/BF02106598 .