Fascicul coerent

Snopii coerenti  sunt o clasă de snopi care sunt strâns legate de proprietățile geometrice ale spațiului purtător. Definiția unui snop coerent folosește un snop de inele , care stochează aceste informații geometrice.

Snopii coerente pot fi privite ca o generalizare a fasciculelor vectoriale . Spre deosebire de pachetele vectoriale, ele formează o categorie abeliană și, prin urmare, sunt închise în cadrul operațiunilor precum preluarea de nuclee , nuclee și imagini. Snopii cvasi  -coerente sunt o generalizare a snopii coerente care includ mănunchiuri de vectori de rang infinit.

Coomologia snopilor coerenți este o tehnică puternică, folosită în special pentru studiul secțiunilor transversale ale snopii coerenți.

Definiții

Un snop cvasi-coerent pe un spațiu inel ( X , O X ) este un snop de O X -module F , care este reprezentabil local, adică fiecare punct X are o vecinătate deschisă U , pentru care există o succesiune exactă

pentru unele mulţimi I şi J (posibil infinite).

Un snop coerent pe un spațiu inel ( X , O X ) este un snop cvasi-coerent F care îndeplinește următoarele două condiții:

  1. snop F de tip finit peste O X , adică orice punct X are o vecinătate deschisă U astfel încât să existe un morfism surjectiv On
    X    | U → F | U pentru ceva n natural ;
  2. pentru orice multime deschisa U ⊂ X , orice n natural si orice morfism O X -module φ: On
    X    | U → F | U , nucleu φ de tip finit.

Morfismele dintre snopi (cvasi)coerenți sunt aceleași cu morfismele modulelor O X.

Proprietăți

Pe un spațiu inel arbitrar, snopii cvasi-coerente nu formează o categorie abeliană. Cu toate acestea, snopi cvasi-coerente peste orice schemă formează o categorie abeliană și sunt extrem de utile în acest context. [unu]

Snopi coerente pe un spațiu inel arbitrar formează o categorie abeliană, o subcategorie completă a categoriei O X -module.

Un submodul al unui snop coerent este coerent dacă este de tip finit. Un snop coerent este întotdeauna un O X -modul prezentat finit , în sensul că orice punct X are o vecinătate deschisă U astfel încât constrângerea F | U snopului F pe U este izomorf cu sâmburele morfismului O X n | U → O X m | U pentru n natural și m . Dacă O X este coerent, atunci, invers, orice modul O X prezentat finit este coerent.

Un snop inel O X se numește coerent dacă este coerent ca un modul peste el însuși. În special, teorema de coerență a lui Oka afirmă că un snop de funcții holomorfe pe un spațiu analitic complex X este coerent. În mod similar, pe o schemă local noetheriană X , structura snopului O X este coerentă. [2]

Comportamentul local al grinzilor coerente

O proprietate importantă a fasciculelor coerente este că proprietățile unui fascicul coerent într-un punct controlează comportamentul acestuia în vecinătatea punctului respectiv. De exemplu, lema lui Nakayama (în termeni geometrici) afirmă că dacă F  este un snop coerent pe o schemă X , atunci fibra sa, înmulțită tensor cu câmpul de reziduuri F p ⊗ O X , p k ( p ) la p (vectorul ). spațiul peste câmpul de reziduuri k ( p )) este zero dacă și numai dacă F este zero pe o vecinătate deschisă a lui p . Un fapt înrudit este că dimensiunea straturilor unui fascicul coerent este semicontinuă superioară . [3] Astfel, un snop coerent are un rang constant pe un submult deschis, în timp ce pe un submult închis rangul poate sări.

În aceeași ordine de idei: un snop coerent F pe o schemă X este un fascicul vectorial dacă și numai dacă fibra sa F p este un modul liber peste un inel local O X , p pentru orice punct p din X . [patru]

Pe schema generală, este imposibil să se determine dacă un snop coerent este un mănunchi vectorial din fibrele sale înmulțite cu tensorul de câmpuri de reziduuri. Cu toate acestea, în schema noetheriană locală dată , un snop coerent este un pachet vectorial dacă și numai dacă rangul său este constant local. [5]

Coomologia snopilor coerenti

Teoria coomologiei snopi coerente este unul dintre principalele instrumente tehnice în geometria algebrică. Deși a apărut abia în anii 1950, multe rezultate anterioare în geometria algebrică sunt formulate mai clar în limbajul coomologiei snopilor aplicat la snopi coerente. În linii mari, coomologia snopilor coerente poate fi considerată un instrument pentru construirea de funcții cu proprietăți date; secțiunile de fascicule de linii sau snopi mai generale pot fi considerate funcții generalizate. În geometria analitică complexă, coomologia snopilor coerente joacă, de asemenea, un rol important.

Teoreme care dispar în cazul afin

Analiza complexă a fost revoluționată de teoremele lui Cartan A și B , dovedite în 1953. Aceste rezultate spun că dacă E  este un snop analitic coerent pe un spațiu Stein X , atunci E este generat de secțiunile sale globale și H i ( X , E ) = 0 pentru tot i > 0. (Spațiul complex X este un spațiu Stein, dacă și numai dacă este izomorf la un subspațiu analitic închis C n pentru unele n .) Aceste rezultate generalizează un corp mare de lucrări anterioare privind construcția de funcții analitice complexe cu singularități date sau alte proprietăți.

În 1955, Serre a introdus snopi coerente în geometria algebrică (inițial pe un câmp închis algebric , dar această restricție a fost eliminată de Grothendieck ). Analogii teoremelor lui Cartan sunt adevărate în mare generalitate: dacă E  este un snop cvasi-coerent pe o schemă afină X , atunci E este generat de secțiunile sale globale, iar H i ( X , E ) = 0 pentru i > 0. [6. ] Acest lucru se datorează faptului că categoria de snopi cvasi-coerenți pe o schemă afină X este echivalentă cu categoria de O ( X ) -module : echivalența duce snopii E la O ( X )-modulul H 0 ( X , E ).

Coomologia Cech și coomologia spațiului proiectiv

Ca o consecință a dispariției coomologiei schemelor afine, pentru o schemă separabilă X , o acoperire afină deschisă { U i } a unei scheme X și un snop cvasi-coerent E pe X , grupurile de coomologie H *( X , E ) sunt izomorfe cu grupările de coomologie Cech în raport cu capacul deschis { U i }. [6] Cu alte cuvinte, pentru a calcula coomologia lui X cu coeficienți în E , este suficient să cunoaștem secțiunile lui E la toate intersecțiile finite ale submulților afine deschise U i .

Folosind coomologia Cech, se poate calcula coomologia unui spațiu proiectiv cu coeficienți în orice pachet de linii. Și anume, pentru un câmp k , un număr natural n și un întreg j , coomologiile spațiului proiectiv P n peste k cu coeficienți în pachetul de linii O ( j ) sunt date după cum urmează: [7]

În special, acest calcul arată că coomologia unui spațiu proiectiv peste k cu coeficienți în orice pachet de linii este de dimensiuni finite ca spații vectoriale peste k .

Dispariția acestor grupuri de coomologie în dimensiunile de deasupra n este un caz particular al teoremei de dispariție Grothendieck : pentru orice snop de grupuri abeliene E pe un spațiu topologic noetherian X de dimensiune  n < ∞, avem H i ( X , E ) = 0 pentru toate i  >  n . [8] Acest rezultat este util în special atunci când X este o schemă Noetheriană (de exemplu, o varietate algebrică peste un câmp) și E  este un snop coerent.

Coomologie finită-dimensională

Pentru o schemă propriu-zisă X peste un câmp k și un snop coerent E pe X , grupurile de coomologie H i ( X , E ) sunt de dimensiuni finite ca spații vectoriale peste k . [9] În cazul particular când X este proiectiv peste k , acest lucru este dovedit prin reducerea la cazul fasciculelor de linii pe un spațiu proiectiv considerat mai sus. Cazul general al unei scheme adecvate asupra unui câmp este demonstrat prin reducerea la cazul proiectiv folosind lema Zhou .

Dimensionalitatea finită a coomologiei este valabilă și pentru snopi analitici coerente pe un spațiu complex compact. Cartan și Serre au demonstrat dimensionalitatea finită în această situație analitică folosind teorema lui Schwarz asupra operatorilor compacti în spațiul Fréchet .

Dimensionalitatea finită a coomologiei ne permite să obținem multe invariante interesante ale varietăților proiective. De exemplu, dacă X  este o curbă proiectivă nesingulară peste un câmp pliat algebric k , atunci genul lui X este definit ca dimensiunea spațiului vectorial H 1 ( X , O X ). Dacă k  este câmpul numerelor complexe, acesta coincide cu genul spațiului punctelor complexe X ( C ) în topologia clasică (euclidiană). (În acest caz, X ( C ) = X an este o suprafață  orientată închisă .)

Dualitate Serra

Dualitatea Serre este un analog al dualității Poincaré pentru coomologia snopilor coerente. Pentru o schemă proprie netedă X de dimensiune n peste un câmp k , există o hartă naturală de urme H n ( X , K X ) → k . Dualitatea Serre pentru un pachet vectorial E pe X afirmă că împerecherea

este o pereche perfectă pentru orice număr întreg i . [10] În special, spațiile vectoriale H i ( X , E ) și H n − i ( X , K X ⊗ E *) au aceeași dimensiune. (Serre a dovedit și dualitatea Serre pentru mănunchiuri de vectori holomorfe pe o varietate complexă compactă.) Teoria dualității lui Grothendieck include generalizări la un snop coerent arbitrar și un morfism propriu arbitrar al schemelor, dar afirmațiile devin mai puțin elementare.

De exemplu, pentru o curbă proiectivă nesingulară X peste un câmp închis algebric k , dualitatea Serre afirmă că dimensiunea spațiului formelor 1 pe X H 0 ( X ,Ω 1 ) = H 0 ( X , K X ) coincide cu genul lui X (de dimensiunea H 1 ( X , O )).

Teoreme GAGA

Teoremele GAGA leagă varietăți algebrice complexe la spațiile analitice corespunzătoare. Pentru o schemă X de tip finit peste C , există un functor de la snopi algebrici coerente pe X la snopi analitici coerente pe spațiul analitic corespunzător X an . Teorema fundamentală GAGA afirmă că dacă X este propriu peste C , atunci acest functor este o echivalență de categorie. Mai mult decât atât, pentru orice snop algebric coerent E pe o schemă proprie X peste C , maparea naturală

este un izomorfism pentru tot i . [11] (Primul grup este definit folosind topologia Zariski, iar al doilea grup este definit folosind topologia clasică (euclidiană).) În special, echivalența dintre snopi coerente analitice și algebrice pe un spațiu proiectiv implică teorema Chou că orice subspațiul analitic închis al CP n este algebric.

Teoreme care dispar

Teorema Serre Vanishing afirmă că pentru orice pachet de linii ample L pe o schemă propriu-zisă X peste un inel noetherian și orice snop coerent F pe X , există un întreg m 0 astfel încât pentru tot m ≥ m 0 , snopiul F ⊗ L ⊗ m este generată de secțiuni globale și nu are coomologie mai mare. [12]

Deși teorema de dispariție a lui Serre este utilă, necunoașterea numărului m 0 poate fi o problemă. Teorema de dispariție a lui Kodaira este un rezultat explicit important. Și anume, dacă X  este o varietate proiectivă netedă peste un câmp cu caracteristica 0, L  este un fascicul amplu de linii pe X și K X  este pachetul canonic , atunci

pentru toate j > 0. Rețineți că teorema lui Serre garantează aceeași dispariție pentru puteri mari ale lui L . Teorema dispariției Kodaira și generalizările sale joacă un rol fundamental în clasificarea varietăților algebrice și în programul modelelor minimale . Teorema de dispariție a lui Kodaira nu se aplică câmpurilor cu caracteristici pozitive. [13]

Note

  1. ↑ Stacks Project, Tag 01LA Arhivat 3 septembrie 2017 la Wayback Machine .
  2. ↑ Grothendieck, EGA I, Corollaire 1.5.2.
  3. ↑ Hartshorne (1981), Exemplul III.12.7.2.
  4. ↑ Grothendieck, EGA I, cap. 0, 5.2.7.
  5. ↑ Eisenbud (1995), Exercițiul 20.13.
  6. ↑ 1 2 Stacks Project, Tag 01X8 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/01X8 > Arhivat la 3 septembrie 2017 la Wayback Machine . 
  7. ↑ Hartshorne (1981), Teorema III.5.1.
  8. ↑ Hartshorne (1977), Teorema III.2.7.
  9. ↑ Stacks Project, Tag 02O3 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/02O3 > Arhivat 23 decembrie 2017 la Wayback Machine . 
  10. ↑ Hartshorne (1981), Teorema III.7.6.
  11. ↑ Grothendieck & Raynaud, SGA 1, Exposé XII.
  12. ↑ Hartshorne (1981), Teorema II.5.17 și Propoziția III.5.3.
  13. ↑ Michel Raynaud . Contra-exemplu al teoremei dispariției în caracteristica p > 0 . În CP Ramanujam - un tribut , Tata Inst. fond. Res. Studii în matematică. 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, (1978), pp. 273-278.

Literatură