Teorema Fenchel-Moro

Teorema Fenchel-Moro  este o condiție necesară și suficientă pentru ca o funcție cu valoare reală să fie egală cu conjugatul său dublu convex . Mai mult, pentru orice funcție este adevărat că [1] [2] .

Afirmația poate fi privită ca o generalizare a teoremei bipolare [1] . Este folosit în teoria dualității pentru a demonstra dualitatea puternică (prin funcția de perturbare ).

Teorema a fost demonstrată pentru cazul cu dimensiuni finite de Werner Fenchel în 1949 și pentru cazul cu dimensiuni infinite de Jean-Jacques Moreau în 1960 [3] .

Enunțul teoremei

Fie un spațiu Hausdorff convex local . Pentru orice funcție cu valori pe linia reală extinsă , rezultă că , unde  este conjugată convexă la , dacă și numai dacă una dintre următoarele condiții este îndeplinită:

  1. este o funcție convexă proprie semicontinuă inferioară și o funcție convexă ,
  2. , sau
  3. [1] [4] [5] .

Într-o formulare geometrică , teorema afirmă că o condiție necesară și suficientă pentru ca epigraful unei funcții să fie intersecția epigrafelor funcțiilor afine este convexitatea și închiderea acestei funcții [3] .

Note

  1. ↑ 1 2 3 Borwein și Lewis, 2006 , p. 76–77.
  2. ↑ Zălinescu, 2002 , p. 75–79.
  3. ↑ 1 2 Tikhomirov V. Geometria convexității // Kvant. - 2003. - Nr. 4.
  4. ↑ Lai, Lin, 1988 , p. 85–90.
  5. ↑ Koshi, Komuro, 1983 , p. 178–181.

Literatură