Teorema Schur-Sassenhaus

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 aprilie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teorema Schur-Sassenhaus este o teoremă în teoria grupurilor care afirmă că, dacă G este un grup finit și N este un subgrup normal a cărui ordine este coprimă în ordinea grupului de factori G/N , atunci G este un produs semidirect (sau împărțit). extensie) a subgrupului N și a grupelor de factori G/N .

Formularea alternativă a teoremei. Orice subgrup Hall normal N al unui grup finit G are un complement de subgrup în grupul G . Mai mult, dacă N sau G/N este decidabil, atunci teorema Schur-Sassenhaus afirmă, de asemenea, că toate complementele lui N din G sunt conjugate . Presupunerea că N sau G/N este decidabil poate fi omisă, deoarece este întotdeauna valabilă, dar toate dovezile cunoscute în acest sens necesită aplicarea mult mai complicată teoremei Feit-Thompson .

Teorema Schur-Sassenhaus răspunde cel puțin parțial la întrebarea: „Într -o serie compozițională , cum putem clasifica grupuri cu un anumit set de factori compoziționali?” Cealaltă parte, în care factorii de compoziție nu au o ordine între prime, este tratată în teoria extensiilor de grup .

Istorie

Teorema Schur-Sassenhaus a fost propusă de Hans Sassenhaus [1] . Teorema 25, pe care o atribuie lui Isai Shur , demonstrează existența unui complement de subgrup, iar Teorema 27 demonstrează că toate complementele sunt adiacente în ipoteza că N sau G/N este rezolvabil. Nu este ușor de găsit o afirmație explicită a existenței unui complement în lucrările publicate ale lui Schur, deși rezultatele lui Schur [2] [3] asupra multiplicatorilor Schur implică existența unui complement în cazul special când un subgrup normal este un centru. Zassenhaus a subliniat că teorema Schur-Sassenhaus pentru grupurile nerezolvabile ar fi adevărată dacă toate grupurile de ordin impar ar fi solubile, așa cum a fost demonstrat mai târziu de Feith și Thompson. Ernst Witt a arătat că acest lucru ar decurge și din conjectura lui Schreier [4] , dar conjectura lui Schreier a fost dovedită folosind clasificarea grupurilor finite simple , care este substanțial mai complicată decât teorema Feit-Thompson.

Exemple

Dacă nu impunem condiția coprimă, teorema devine invalidă. Luați în considerare, de exemplu, un grup ciclic și subgrupul său normal . Atunci, dacă ar fi un produs semidirect al lui și , atunci ar trebui să conțină două elemente de ordinul 2, dar conține un singur element. O altă modalitate de a arăta imposibilitatea divizării (adică, exprimarea unui grup ca produs semidirect) este observația că automorfismele unui grup sunt un grup trivial , astfel încât singurul produs [semi] direct posibil al unui grup cu el însuși este direct produs (care dă grupul cvadruplu Klein , grupul , care nu este izomorf ). $C_{4}$ $C_{2}$ $C_{4}/C_{2)$ $C_{2}$ $C_{4}/C_{2}\cong C_{2)$ $C_{4}$ $C_{4}$ $C_{2}$ $C_{2}$ $C_{4}$

Un exemplu de caz în care se aplică teorema Schur-Sassenhaus este grupul simetric de 3 caractere , , care are un subgrup normal de ordin 3 (izomorf la ), care, la rândul său, are indicele 2 în (care este în concordanță cu teorema lui Lagrange ), astfel încât . Deoarece 2 și 3 sunt coprimi, se aplică și teorema Schur-Sassenhaus . Rețineți că grupul de automorfism al grupului este egal și automorfismul de grup utilizat în produsul semidirect care dă este un automorfism non-trivial care permută două elemente netriviale ale grupului . Mai mult, trei subgrupuri de ordinul 2 în (care poate acționa ca complemente în ) sunt adiacente. $S_{3}$ $C_{3}$ $S_{3}$ $S_{3}/C_{3}\cong C_{2)$ $S_{3}\cong C_{3}\rtimes C_{2)$ $C_{3}$ $C_{2}$ $C_{3}$ $S_{3}$ $C_{3}$ $S_{3}$ $C_{3}$ $S_{3}$

Concluzia despre non-trivialitatea adiacentei (complementare) poate fi ilustrata pe grupul cvadruplu Klein ca exemplu fals. Oricare dintre cele trei subgrupuri proprii ale grupului (toate de ordinul 2) este normală în . Fixând unul dintre aceste subgrupuri, oricare dintre cele două subgrupuri rămase (proprii) îl completează în , dar niciunul dintre aceste trei subgrupuri ale grupului nu este adiacent celuilalt, deoarece grupul este abelian . $V$ $V$ $V$ $V$ $V$ $V$

Grupul de cuaternioni are subgrupe normale de ordinul 4 și 2, dar nu este un produs [semi]direct. Lucrările lui Schur de la începutul secolului al XX-lea au introdus noțiunea de expansiune centrală pentru exemple precum cuaternioni. $C_{4}$

Dovada

Existența complementului unui subgrup Hall normal H al unui grup finit G poate fi demonstrată prin următorii pași:

Prin inducție de ordinul lui G , putem presupune că acest lucru este valabil pentru toate grupurile mai mici.
Dacă subgrupul H este abelian, atunci existența complementului decurge din faptul că grupul de coomologie H 2 ( G / H , H ) dispare (deoarece H și G / H au ordine coprime) și din faptul că adiacența tuturor complementele rezultă din dispariţia lui H 1 ( G / H , H ).
Dacă un subgrup H este solubil, acesta are un subgrup abelian non-trivial A care este o caracteristică în H și, prin urmare, normal în G. Aplicația Schur-Sassenhaus la G / A scurtează demonstrația cazului când H = A este abelian, ceea ce se face în pasul anterior.
Dacă normalizatorul N = N G ( P ) al oricărui subgrup p -Sylow P al unui subgrup H este egal cu G , atunci H este nilpotent și, în special, determinabil, deci teorema urmează din pasul anterior.
Dacă normalizatorul N = N G ( P ) al unui subgrup p -Sylow P al lui H este mai mic decât G , atunci prin inducție teorema Schur–Sassenhaus este valabilă pentru N și complementul N ∩ H în N este complementul lui H în G deoarece G = NH .

Note

↑ Zassenhaus, 1958 , p. Capitolul IV, secțiunea 7.
↑ Schur, 1904 .
↑ Schur, 1907 .
↑ Witt, 1998 , p. 277.

Literatură

Joseph J. Rotman. O introducere în teoria grupurilor. - Al patrulea. - New York: Springer-Verlag, 1995. - V. 148. - (Texte de absolvire a matematicii). — ISBN 978-0-387-94285-8 . - doi : 10.1007/978-1-4612-4176-8 .
David S. Dummit, Richard M. Foote. Algebră abstractă. - Al treilea. - Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - ISBN 978-0-471-43334-7 .
Wolfgang Gaschütz. Zur Erweiterungstheorie der endlichen Gruppen // J. Reine Angew. Matematică.. - 1952. - T. 190 . — S. 93–107 . - doi : 10.1515/crll.1952.190.93 .
John S. Rose. Un curs de teoria grupurilor . - Cambridge-New York-Melbourne: Cambridge University Press, 1978. - ISBN 0-521-21409-2 .
I. Martin Isaacs. Teoria grupurilor finite. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2008. — V. 92. — ( Graduate Studies in Mathematics ). — ISBN 978-0-8218-4344-4 . doi : 10.1090 / gsm/092 .
Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher. Teoria grupurilor finite: o introducere. - New York: Springer-Verlag, 2004. - (Universitex). — ISBN 0-387-40510-0 . - doi : 10.1007/b97433 .
James E. Humphreys. Un curs de teoria grupurilor. - New York: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1996. - (Oxford Science Publications). — ISBN 0-19-853459-0 .
Issai Schur . Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochen lineare Substitutionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1904. - T. 127 . - S. 20-50 .
Issai Schur . Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1907. - T. 132 . - S. 85-137 .
Ernst Witt. Hârtii adunate. Gesammelte Abhandlungen / Ina Kersten. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 978-3-540-57061-5 . - doi : 10.1007/978-3-642-41970-6 .
Hans Zassenhaus. Lehrbuch der Gruppentheorie. - Leipzig și Berlin: Teubner, 1937. - V. 21. - (Hamburger Mathematische Einzelschriften).
- Hans J. Zassenhaus. Teoria grupurilor.. - a 2-a. - New York: Chelsea Publishing Company, 1958. Traducere în engleză