Produs semidirect

Un produs semidirect este o construcție în teoria grupurilor care vă permite să construiți un nou grup din două grupuri și , și acțiunea grupului asupra grupului prin automorfisme. $H$ $N$ $\phi$ $H$ $N$

Produsul semidirect al grupurilor și peste este de obicei notat cu . $N$ $H$ $\phi$ $N\rtime_\phi H$

Constructii

Să fie dată acțiunea unui grup asupra spațiului unui grup cu păstrarea structurii sale de grup. Aceasta înseamnă că este dat un homomorfism al unui grup în grupul de automorfisme ale grupului . Un automorfism al grupului corespunzător unui element de sub homomorfism se notează cu . Pentru mulţimea elementelor unui produs semidirect de grupuri şi peste un homomorfism se ia un produs direct . Operația binară pe este determinată de următoarea regulă: $H$ $N$ $\phi: H \rightarrow \mbox{Aut}(N)$ $H$ $N$ $N$ $h$ $H$ $\phi$ $\phi_{h}$ $G=N\rtimes _{\phi }H$ $H$ $N$ $\phi$ $N\ ori H$ $*$ $G$

(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\cdot \phi _{h_{1))(n_{2}), h_{1}\cdot h_{2})

pentru orice , .

n_1,n_2 \în N

h_{1},h_{2}\în H

Proprietăți

Grupurile și sunt încorporate în mod natural în și este un subgrup normal de . $H$ $N$ $G$ $N$ $G$
Fiecare element este unic descompunebil într-un produs , unde și sunt elemente ale grupurilor și, respectiv. (Această proprietate justifică numele grupului ca produs semidirect al grupurilor și .) $g\în G$ $g=nh$ $h$ $n$ $H$ $N$ $G$ $H$ $N$
Acțiunea specificată a grupului asupra grupului coincide cu acțiunea asupra colegilor (în grup ). $\phi$ $H$ $N$ $H$ $N$ $G$

Orice grup cu proprietățile 1–3 este izomorf cu un grup (proprietatea de universalitate a produsului semidirect al grupurilor). $G$

Motivație

Asociativitatea operației se verifică direct. Sunt utilizate rapoarte

\phi_{h_1}\circ\phi_{h_2}(n) = \phi_{h_1h_2}(n)

și .

\phi _{h}(n_{1})\phi _{h}(n_{2})=\phi _{h}(n_{1}n_{2})

Unitatea grupului G este elementul , unde și sunt unități din grupele N și respectiv H . (Se folosește egalitatea .) $(1_{N},1_{H})$ $1_N$ $1_H$
$\phi_{1_H}(n) = n$
Elementul invers cu este egal cu . $(n,h)$ $(\,\phi_h^{-1}(n^{-1}),h^{-1})$
- Pentru a demonstra că acest element este lăsat invers, se folosește egalitatea . $\phi_h^{-1}(n^{-1}) = \phi_{h^{-1}}(n)^{-1}$
Mapările și înglobează homomorf grupele N și H în grupul G. Imaginile lor au un singur element comun - identitatea grupului G . $n\mapsto (n,1_{H})$ $h\mapsto (1_{N},h)$
Harta este un epimorfism al grupului G pe grupul H cu nucleul N . Aceasta implică faptul că grupul N este normal în G. $(n,h)\mapsto h$
Egalitatea dă o descompunere a unui element arbitrar al grupului G într-un produs al elementelor n și h din grupele N și respectiv H . Din această egalitate rezultă și unicitatea expansiunii. $(n,h)=(n,1)*(1,h)$
Egalitatea arată că acțiunea grupului H asupra N dată de homomorfism coincide cu acțiunea lui H asupra N prin conjugări. $(\phi_h(n),1) = (1,h)(n,1)(1,h)^{-1}$ $\phi$
Pentru a demonstra proprietatea universală a unui produs semidirect, trebuie să folosiți formula . Din aceasta rezultă că un produs dintr-un grup G cu o descompunere NH cu o singură valoare (presupunând că grupul N este normal ) este complet determinat de regulile de înmulțire din interiorul subgrupurilor N și H și de regulile de conjugare a elementelor din N. prin elemente din H . $(n_1h_1)\cdot (n_2h_2) = n_1(h_1n_2h_1^{-1})\cdot (h_1h_2)$

Exemplu

Grupul de reziduuri modulo 4 ( ) acţionează asupra (considerată ca grupare aditivă a inelului corespunzător) în patru moduri diferite: $\mathbb {Z} _{4}$ $\mathbb {Z} _{5}$

\phi_h(n) = a^hn

, unde este un element fix diferit de zero , , .

A

\mathbb {Z} _{5}

h\in\mathbb{Z}_4

n\in\mathbb{Z}_5

În consecință, pe platou , puteți introduce 4 structuri ale grupului - un produs semidirect: $\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_4$

$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})$ , unde ; $a=1$
$(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + (-1)^{h_1}n_2, h_1 + h_2)$ , unde ; ${a=4\equiv -1}{\pmod {5}}$
$(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 2^{h_1}n_2, h_1 + h_2)$ ;
$(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 3^{h_1}n_2, h_1 + h_2)$ ;

Se poate arăta că ultimele două grupuri sunt izomorfe în timp ce celelalte nu sunt și, de asemenea, că aceste exemple enumera toate grupurile de ordinul 20 care conțin un element de ordinul 4 (folosind teoremele lui Sylow ).

În mod similar, produsul semidirect al grupurilor este utilizat în general pentru a clasifica grupurile finite.

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier